Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е. . Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале . Положим . Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 1.8).
Уравнение касательной будет иметь вид: .
Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив : .
Аналогично поступим с точкой , затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений , причем
. (1.6)
Рисунок 1.8 - Касательная к графику функции в точке
Формула (1.6) является расчетной формулой метода Ньютона.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
Теорема. Пусть – простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (1.6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:
|
|
, (1.7)
где .
Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (1.6) сходятся, причем монотонно. Рисунок 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь ).
Погрешность метода. Оценка (1.7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:
. (1.8)
Критерий окончания. Оценка (1.8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
.
Пример 1.3. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .
Таблица 1.3 – Расчётные значения
-11 | -5183 | 0,6662 | |
-10,3336 | 307,3 | 4276,8 | 0,0718 |
-10,2618 | 3,496 | 4185,9 | 0,0008 |
-10,261 | 0,1477 | - | - |
. Поэтому .