1. Определить, являются ли следующие предложения высказываниями и найти их истинностные значения.
а) Функция у = x3 монотонно возрастает на множестве R действительных чисел;
б) Функция у = х2 ― нечетная функция;
в) х2 + у2>0 для любого х;
г) существует такое действительное число, что 2х + 5=19;
д) любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;
ж) х + у = у + х.
2. Выделить структуру следующих высказываний и определить их истинностные значения:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам;
б) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3;
в) натуральное число не может быть одновременно простым и составным;
г) касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
3. Построить таблицы истинности для следующих формул исчисления высказываний:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Равносильность формул. Виды формул
Среди формул логики высказываний есть такие, которые при всех наборах высказывательных переменных принимают значение 1 (истина). Такие формулы называются тавтологиями или логическими законами. Это, например, формулы A∨ ,
А&(А→В)→В, (А→В)↔( → ) и т.д. Они играют особую роль, ибо выражают логическую структуру таких высказываний, которые истинны в силу только этой своей структуры.
|
|
Построив таблицу истинности любой формулы, всегда можно выяснить, является ли она тавтологией или нет, причем, очевидно, достаточно найти хотя бы один набор, при котором формула будет ложной, чтобы сделать вывод о том, что эта формула не тавтология.
Помимо понятия сложного высказывания и связанного с ним понятия формулы, важное значение в логике высказываний имеет отношение равносильности (по-другому ― эквивалентности) формул.
О п р е д е л е н и е: Две формулы от одних и тех же высказывательных переменных называются равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности при всех возможных наборах значений истинности входящих в них высказывательных переменных.
Отношение равносильности обозначается знаком ⇔. Из определения следует, что равносильные формулы имеют одинаковые таблицы истинности, поэтому проверка равносильности двух формул сводится к составлению их таблиц истинности и анализа этих таблиц.
Выясним для примера, будут ли равносильными следующие формулы:
1) A&(B∨C) и (A&B)∨(A&C)
2)(А→В)&С и А→(В&С)?
Для этого составим таблицы истинности этих формул и сравним их:
[A] | [B] | [С] | [A&(B∨C)] | [(А&В)∨(A&C)] | [(A→B)&C] | [А→(В&C)] |
Первая пара формул оказалась равносильной, а вторая нет (см. 8 строку таблицы). Последний пример показывает важность скобок: различная последовательность выполнения логических операций может приводить к неравносильным формулам. Поэтому логические операции принято выполнять в следующей последовательности: , &, ∨, →, ↔, если скобки в данной формуле не расставлены.
|
|
Упражнения
1. Доказать равносильность формул:
а) и ;
б) и ;
в) и ;
г) и ;
д) и
е) и ;
2. Доказать, что нижеприведенные формулы являются тавтологиями:
а) ; б) ; в) .