Задача 1. Решите в целых числах: . Найти .
Решение. (Решение данной задачи другим способом рассматривается в первой части - задача №5.) , где (1)
Очевидно, что если , тогда - целое число.
1 сл.:
2сл.:
Ответ: и .
Обобщение: «ключиком» к исходной задаче является выражение . Что же можно варьировать?
Замечание: В числителе дроби можно ставить любое целое число, с помощью которого получаются новые задачи.
Например, возьмем в качестве выражение , и из него получим исходную задачу. Имеем . , . Получили новую задачу:
Задача 2. Решите в целых числах уравнение .
Решение. Так как , то мы должны рассмотреть четыре случая.
1 сл.:
2 сл.:
3 сл.:
4 сл.:
Ответ: .
Замечание: 1) В качестве примера рассмотрим случаи , где - простое число, составное, нечетное.
2) Рассмотрим случай при - простом, составном, нечетном.
В общем случае: . Если - простое число, то .
До сих пор меняли только , но задачу можно видоизменить меняя значения и . Рассмотрим «ключик» в виде: ; . , .
Задача 3. Решите в целых числах уравнение .
|
|
Решение. Если , тогда - целое число. Рассмотрим следующие случаи:
1 сл.:
2 сл.:
3 сл.:
4 сл.:
Ответ: .
Рассмотрим следующую задачу: , , .
Задача 4. Решите в целых числах уравнение .
Решение. Если , тогда - целое число. Решением данной задачи будет:
1 сл.:
2 сл.:
3 сл.:
4 сл.:
Ответ: .
Усложним теперь задачу:
, (*)
Задача 5. Решите в целых числах .
Решение. Разложим левую часть данного уравнения на множители с помощью метода группировки. , . Из (*) очевидно, что если , тогда - целое число.
1 сл.: - иррациональное число,
2сл.: - иррациональное число,
3сл.: - иррациональное число,
4сл.: - иррациональное число,
Следовательно, а значит, данные уравнения целых решений не имеют.
Ответ: решений в целых числах нет.
Творческое задание: Рассмотреть задачи с «ключиком». Составить авторские задачи по данному методу.