Метод остатков

Рекомендуется повторить тему «делимость и остатки». (См. учебники: Миронов П.М. Арифметика. Изд. 3-е. – Чебоксары: Чуваш. кн. изд-во, 1999. – 319 с. (С. 105-121); Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев и др. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 368 с. (С. 141-153); Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1997. – 224 с. (С. 5-11) и др.

Замечание.

1) Задачи, содержащие квадраты натуральных чисел решается перебором остатков от деления на 3 или на 4.

При делении на 3 и при делении на 4 квадраты дают остатки 0 и 1.

При делении на 8 квадраты дают остатки 0, 1, 4.

2) Задачи, содержащие кубы целых чисел решаются перебором ос­татков от деления на 7 или на 9.

При делении на 7 кубы целых чисел дают остатки 0, 1, 6.

При делении на 9 кубы целых чисел дают остатки 0, 1, 8.

Задача 1. Докажите, что уравнение не имеет реше­ния в целых числах.

Решение. Сначала заметим, что , так как если - целое отрица­тельное число, то , а при , тогда дан­ное равенство невозможно.

(*)

Известно, что любая натуральная степень числа 6 оканчивается на 6, а значит, при любом натуральном оканчивается на 4. Значит, при любом натуральном оканчивается на 3. — квад­рат целого числа, и значит, на 3 оканчиваться не может.

То есть левая часть уравнения (*) при всегда оканчиваются на 3, а правая представляет собой квадрат целого числа, а он не может оканчиваться на 3. Значит, уравнение (*) не имеет решений в целых числах.

Обобщение: , где , а - квадрат це­лого числа. Например:

Задача 2. Решите в целых числах .

Решение. Если , то делится на четыре без остатка, а делится на три без остатка. А с учетом выше приведенного замеча­ния мы знаем, что при делении на 3 и при делении на 4 квадраты дают ос­татки 0 и 1. В нашем случае при делении на три или на четыре дает остаток либо 2, либо 3. Т.е. уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Решений в целых числах нет.

Задача 3. Решите в целых числах

Решение. 1) Решение уравнения основано на утверждении что точные квадраты при делении на 8 могут давать остатки 0, 1, 4 (прове­рить самостоятельно).

2) Запишем данное уравнение в виде

Правая часть данного уравнения делится на 8 без остатка, а левая часть при делении на 8 может давать следующие остатки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: Решений в целых числах нет.

Задача 4. Решите в целых числах

Решение. Так как , то . Значит, при делении на 7 мо­жет давать три различных остатка: 0, 1, 6.

Так как делится на 7 нацело при , то при де­лении на 7 может давать три различные остатка: 5, 6, 4; а значит, не может быть равным нулю, т. е. данное уравнение целых решений не имеет.

Ответ: Решений в целых числах нет.

Задача 5. Решите в целых числах

Решение. 1) Видно, что при а) тогда б) т.е.

Получаем следующие решения:

Заметим, что если то ‚ но , зна­чит, при целочисленных решений нет.

При получаем , а так как , то целочисленных ре­шений при нет.

2) Если , то можно представить в виде , где . Таким образом, — число, оканчиваю­щееся цифрой 3, значит, оно не может быть квадратом це­лого числа. Следовательно, при целых решений нет.

Ответ:

Задача 6. Докажите, что уравнение не имеет реше­ний в целых числах.

Решение. Предположим, что данное уравнение имеет решение в целых числах. Из того, что следует, и .

Запишем данное уравнение в виде .

Так как 1993—число простое, а то равно либо 1, либо 1993.

Если ,то т.е. исход­ное уравнение примет вид .

Видно, что левая часть уравнения при делении на 5 дает остаток 1, а правая, т. е. 1993, при делении на 5 дает остаток 3.

Если , то а это невоз­можно, т. к.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых чис­лах.

Творческое задание: Составить авторские задачи по данному методу.