Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Определение 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение 2. Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение 3. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.:

где р ₁ + р ₂ +…+ р_n = 1.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р ₁ + р ₂ +…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i= 1,2, …n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i) = φ(x_i) ,i = 1,2,3 …n.

Задача 4.1. Вероятности того, что студент сдаст экзамены в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x ₁=0, x ₂=1, х ₃=2.

Найдем вероятности этих значений. Обозначим события:

– студент сдаст экзамен по математическому анализу;

– студент не сдаст экзамен по математическому анализу;

– студент сдаст экзамен по органической химии;

– студент не сдаст экзамен по органической химии.

По условию:

= 0,7 => ) = 1 – = 0,3;

= 0,8 => = 1 –

Тогда:

P (x=0) = ) = = 0,3 0,2 = 0,06.

P (x= 1) = )= = 0,7 0,2 + 0,3 0,8 = 0,38

P (x= 1)= 0,7 0,8 = 0,56.

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Контроль: 0,06+0,38+0,56=1.