2015-02-04
1267
В этом случае эмпирические формулы в общем виде записываются так
y = f (x; a,b,c),
где a, b и с – некоторые постоянные.
Первой формулой с тремя параметрами является квадратическая зависимость
y = ax 2 + bx + c. (4.21)
Критерий проверки экспериментальных данных на зависимость (4.21) существует. Но он строится с таки громоздкими расчётами и составлением сложной таблицы, что легче по экспериментальным данным построить кривую, как мы это уже делали, и убедиться, похожа ли она на зависимость (4.21).
Рассмотрим степенную зависимость вида
y = axb + c (4.22)
Отсюда y – c = axb. Логарифмируя это выражение получим
lg (y – c) = lg a + b lg x.
Полагая lg (y - c) = Y и lg x = X, получим линейную зависимость
Y = bX + lg a.
Определение параметров формулы (4.22) начнём с нахождения с. Для этого составим среднее геометрическое 
= 
, и, пользуясь графиком, построенным по исходным данным, или методом линейной интерполяции для 
, найдём соответствующее значение 
. Предполагая, что точки M 1(x 1, y 1), M S(x S, y S), M n(x n, y n) расположены на кривой (4.22), будем иметь три неравенства.
|
|
|
, 
, 
.
Возводя 
= 
в степень b и умножая на а, получим
a 
или y s – c = 
.
Решим последнее уравнение относительно с.
= 
; 
;
c (
) = 
; c = 
.
После этого строим точки N i(X i, Y i), где X i = lg x i, Y i = lg(y i – c) (i = 1,2,…, n). Если эти точки располагаются близко к прямой линии, то зависимость (4.22) выбрана правильно. Причём, постоянные а и b находятся обычным способом.
Пример. Для переменных х и у дана таблица 12
Таблица 12
| х | ||||||
| у | 0,10 | 0,28 | 0,80 | 1,38 | 2,56 | 4,10 |
Найти эмпирическую формулу, связывающую эти переменные коэффициентами a,b и с.
Решение. Построим эмпирическую формулу вида:
y = axb + c.
Находим
.
На графике, если его построить, этому значению соответствует 
= 0,507. Отсюда
c = 
.
Остальные параметры а и b найдём методом средних.
Составляем начальное уравнение с учетом, найденного значения с.
lg (y i – 0,048) = lg a + b lg x i, (i = 1,2,…,6)
Тогда будем иметь систему уравнений
-1,2840 = lg a + 2,3979 b; 0,1245 = lg a + 3,0792 b;
-0,6345 = lg a + 2,6990b; 0,4000 = lg a + 3,2041b;
-0,1238 = lg a + 2,9542 b; 0,6077 = lg a + 3,3010 b;
Группируя эти уравнения по три, получим
.
Вычитаем из первого уравнения второе: -3,1745 = 1,5332 b; b = 2,071.
.
Таким образом, искомая эмпирическая формула будет иметь вид.
y = 5,75 · 10-7 x 2,071 + 0,048.
Рассмотрим показательную зависимость
y = aebx + c (4.23)
Перенося слагаемое с влево и логарифмируя, получим
lg (y - c) = lg a + bxM,
где M = lg e = 0,434.
Таким образом,
Y = lg a + bMx, (4.24)
где y = lg(y – c).
Определим параметр с. Для этого, как и в предыдущем случае, выберем крайние точки M 1(x 1, y 1) и M n(x n, y n) и составим среднее арифметическое
Для 
найдём соответствующее 
(или из чертежа, или линейной интерполяцией). Представляя эти значения в эмпирическую формулу (4.23), будем иметь
|
|
|
; 
; 
.
Отсюда 
; 
; 
. Следовательно
(
)(
) = 
; (
= 
;
(
)(
) =(
.
Получим точно такое же уравнение, как и в предыдущем случае.
Поэтому с запишем в таком же виде
с = 
.
Если обнаружена линейная зависимость (4.24), то остальные параметры а и b находятся обычными приёмами.
Пример. Дана таблица 13
Таблица 13
| х | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | |
| у | 1,30 | 1,44 | 1,59 | 1,78 | 1,97 | 2,19 | 2,46 | 2,74 | 3,06 | 3,42 | 3,84 |
Найти эмпирическую формулу. Будем её искать в виде
y = aebx + c.
сначала найдём 
= 
= 0,5. Этому значению в данной таблице соответствует значение 
= 2,19. Отсюда
с = 
= 0,258.
Параметры а и b определяем по методу средних. Для этого запишем
lg (y i – 0.258) = lg a + bMx i, (i = 1,2,…,10).
Составим две системы уравнений
Подставив значения x i и y i и приведя подобные члены, получим систему двух уравнений
Решая эту систему найдём: а = 1,044; b = 1,234. Следовательно, эмпирическая формула имеет вид
у = 1,044е1,234 х +0,258.
