Для того чтобы функции и были эквивалентны при , достаточно, чтобы .
Из теоремы и известных пределов следуют часто применяемые эквивалентности: при .
Справедливы и более общие эквивалентности: если при функция и при , то при (следует из теоремы о пределе композиции).
Пример 3. Какие из следующих пар функций являются эквивалентными при x→ 0:
1) , ;
2) ;
3)
1) Так как то при .
2) Так как ,
то при .
3) В этом случае не существует, однако при x→ 0. Действительно, существует функция такая, что и .
Теорема дает достаточное условие, но не необходимое. Это условие будет являться и необходимым, если в окрестности точки , и .