Если при , а , то говорят, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при .
Пример 4. Установить, какие из следующих утверждений верны:
1) при а) , б) ;
2) при а) , б) ;
3) при а) , б) ;
4) при а) , б) .
1) а) Утверждение верно, так как ;
б) Утверждение неверно, ибо .
2) а) Утверждение неверно, так как ;
б) Утверждение истинно, ибо .
3) а) Утверждение верно, так как ;
б) Утверждение неверно, ибо .
4) а) Утверждение неверно, так как ;
б) Утверждение истинно, так как .
Пример 5. Доказать или опровергнуть утверждение: , , где
Здесь функция обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к точке . Поэтому придется воспользоваться определением символа . Так как существует функция , что и , то , - утверждение истинно.
Замечание!!
При использовании равенств с символами и следует иметь в виду, что эти равенства не являются равенствами в обычном смысле. Так, из равенств , при не следует, что : , при , но .
Пример 6. Докажем следующие правила: при :
1) , — постоянная;
2) ;
3) ;
4) .
Для доказательства этих правил возьмем левую часть рассматриваемых равенств и докажем, что ее можно заменить правой.
|
|
1) По определению символа :
, , но тогда
, где и , .
2) Так как , , то , где , и, таким образом, при .
3) Учитывая, что , , , , получим: ,
где , поэтому: при .
4) Так как , где и , то , где , т.е. при .
В силу доказанных соотношений 1) – 4) левую часть каждого из них можно заменить правой, проделать обратную замену, вообще говоря, нельзя.
Пример 7. Доказать равенства при :
1) ;
2) .
Обозначим ,согласно определению символа : в некоторой - окрестности точки .
1) Тогда и, вводя обозначение , будем иметь: в некоторой
-окрестности точки .
Если , то в - окрестности точки будем иметь при .
2) Символ по определению означает: , . Тогда .
Так как , то в некоторой окрестности точки ,следовательно: , то есть или при .
Вычисление пределов функций существенно упрощается, если использовать понятие эквивалентности функций и следующие две теоремы.
Теорема 1.
Для того чтобы функции и , отличные от нуля в некоторой окрестности точки , были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: либо при .
Теорема 2.
Пусть при . Тогда, если существует , то существует и , причем эти пределы равны.
Пример 8.Найти .
При имеем: , , .
Следовательно, , , ,и Используя далее правила обращения с символами : , пример 6 (1,2) , получим:
.
Пример 9.Найти .
При имеем: ,
аналогично , поэтому Пример 10. Найти .
При функция . Тогда, используя замечательный предел , получим: при , т.е. и
Убедимся, что при .
По определению символа : где . Но тогда и требуемое установлено.
|
|
Пример 11.Найти .
Воспользуемся замечательным пределом: .
Тогда .
Поэтому ,
при .
Следовательно,