Математический маятник. Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

На маятник действует сила тяжести и сила реакции нити , которые в состоянии равновесия компенсируют друг друга. Но если отклонить маятник на некоторый угол α, то векторная сумма этих сил даст возвращающую силу , которая будет направлена к положению равновесия (рис. 49). Величина этой силы
F = m*g*sin(α).

Рис. 49.

Математический маятник

Отклонение маятника равно длине дуги AE, которая через длину маятника L и угол отклонения α выражается как s = Lα. Уравнение движения маятника:

Введя обозначение

, (132)

получаем дифференциальное уравнение движения математического маятника:

При малых отклонениях, когда sin(α) ≈ α, можно записать:

. (133)

При малых отклонениях от положения равновесия математический маятник совершает гармонические колебания с круговой частотой (132).

Период колебаний математического маятника:

(134)

Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, а зависит только от длины нити и ускорения свободного падения.

Колебания математического маятника происходят под действием возвращающей силы, которая по характеру действия аналогична силе упругости, действующей на пружинный маятник. Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими. Квазиупругую силу обычно записывают в виде, аналогичном формуле (131):

F = –kx,

где k = ω²m. (135)