2015-03-22
1244
При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами.
Пусть дана линейная система
(1)
Введем в рассмотрение матрицы
, 
.
Тогда систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения
(1’)
Предполагая, что диагональные коэффициенты 
,
Решим первое уравнение системы (1) относительно 
, второе – относительно 
и т.д. Тогда получим эквивалентную систему:
(2)
где 
; 
при 
и 
при 
Введем матрицы
и 
,
тогда систему (2) можно записать в матричной форме
(2’)
Систему (2) решим методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов 
.
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
(первое приближение)
(второе приближение)
и т.д.
В общем случае, любое 
-е приближение вычисляют по формуле
(
). (3)
Если последовательность приближений 
имеет предел 
, то этот предел является решением системы (2). Действительно, переходя к пределу в равенстве (3) будем иметь:
или
т.е. предельный вектор 
являетсярешением системы (2’), а, следовательно, и системы (1).
Напишем формулы приближений в развернутом виде:
(3’)
Заметим, что иногда выгоднее приводить систему (1) к виду (2) так, чтобы коэффициенты 
не были равны нулю.
Вообще, имея систему
,
можно положить:
,
где 
. Тогда данная система эквивалентна приведенной системе
,
где
Поэтому в дальнейшем будем предполагать 
.
Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3) или (3’), носит название метода итерации. Процесс итерации (3) хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы 
малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).
Замечание: При применении метода итерации (формула (3)) нет необходимости за нулевое приближение 
принимать столбец свободных членов. Сходимость процесса итерации зависит только от свойств матрицы , причем при выполнении известных условий, если этот процесс сходится при каком-нибудь выборе исходного начального приближения, то он будет сходиться к тому же предельному вектору и при любом другом выборе этого начального приближения. Поэтому начальный вектор в процессе итерации может быть взят произвольным. Целесообразно за компоненты начального вектора выбирать приближенные значения корней системы, находимые грубой прикидкой.
Сходящийся процесс итерации обладает важным свойством самоисправляемости, т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор.
Отметим, что иногда бывает удобнее подсчитывать не сами приближения, а их разности.
Недостатком этого варианта метода итерации является систематическое накопление ошибок при увеличении числа слагаемых, в результате чего могут возникнуть значительные погрешности искомых корней. Кроме того, ошибка, допущенная в вычислениях, повлияет на окончательный результат. Поэтому надежнее пользоваться первым вариантом метода итерации.
Замечания о точности расчета. Если все коэффициенты и свободные члены данной системы являются точными числами, то решение ее методом последовательных приближений может быть получено с любым заранее заданным числом m верных десятичных знаков. При этом в значениях последовательных приближений следует удерживать m+1 десятичных знаков и последовательные приближения вычислять до их совпадения, после чего нужно округлить результат на один знак. Если коэффициенты и свободные члены данной системы являются приближенными числами, написанными с p знаками, то решение этой системы производится, как в случае точных чисел, с точностью до m=p знаков.
Рассмотрим без доказательства достаточное условие сходимости процесса итерации.
Теорема. Если для приведенной системы (2) выполнено по меньшей мере одно из условий
1) 
или
2) , то процесс итерации (3) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
Следствие: Для системы 
метод итерации сходится, если выполнены неравенства 
, т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).
