Частным приращением функции в точке по переменной х называется выражение .
Частным приращением функции в точке по переменной у называется выражение .
Частной производной от функции по переменной х называется предел отношения частного приращения к приращению аргумента при стремлении к нулю.
Обозначают частные производные одним из символов
, или .
Итак, по определению .
Аналогично определяется частная производная по переменной у:
.
Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.
Пример. Найти частные производные функций:
а) ,
б) .
Решение. а) . Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, . Аналогично, дифференцируем по , считая постоянной, находим частную производную по : .
б) . При фиксированном имеем степенную функцию от . Таким образом, . При фиксированном функция является показательной относительно и .
|
|
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
, (1)
где и – некоторые числа; и - бесконечно малые при , функции , то есть и .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по каждому аргументу и , причем , .
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде
, (2)