Производная по направлению некоторого вектора характеризует скорость изменения функции в точке вдоль этого вектора.
Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по направлению , где ; – длина вектора , причем
где значения частных производных , вычисляются в точке .
Вектор с координатами , характеризующий направление максимального роста функции в точке , называют градиентом функции в этой точке и обозначают .
Производная по направлению и градиент связаны соотношением
Для функции трех переменных направление задается вектором , где – углы между вектором и положительными направлениями осей , , , а называют направляющими косинусами вектора .
Тогда
где есть вектор с координатами
Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению вектора в точке .
Решение. Найдем координаты вектора в точке согласно определению .
Вычислим частные производные и найдем их значения в точке :
.
Таким образом, .
|
|
Длину вектора определим по формуле
,
Тогда, учитывая найденные координаты вектора, получим
.
Далее найдем производную в точке по направлению вектора . Как известно,
,
,
где .
Тогда производная по направлению вектора в точке равна
.
5.1. Верно ли следующее утверждение: градиентом функции в точке является вектор ?
Найти производную функции по направлению вектора в точке , если:
5.2. .
5.3. .
Найти производную функции в точке по направлению вектора , если:
5.4. .
5.5. .
5.6. Показать, что в точке угол между градиентами функций
и
,
где – константы, а стремится к нулю, если точка удаляется в бесконечность.
5.7. Решить уравнение , если
.
5.8. Найти наибольшее значение производной в точке , если
.
Ответы: 5.1. Неверно. 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.7. , , . 5.8. .