Начальные этапы овладения понятием числа и навыками счета у дошкольников

Примерно 10 лет назад было проведено одно замечатель­ное исследование, быстро ставшее широко известным и уже вошедшее в учебники, показавшее, что умению считать у де-

тей предшествует этап овладения некоторыми самыми об­щими принципами счета. Работа, в которой это положение было сформулировано, и называлась: «Принципы раньше умения»¹.

В экспериментах, результаты которых привели к данному выводу, дети наблюдали, как кукла считала какие-нибудь предметы, и их просили поправлять ее, если они заметят, что она ошиблась. Оказалось, что дети 3—4 лет замечали ошиб­ки, когда кукла пропускала какое-нибудь числительное, пе­реставляла их местами или называла в случайном порядке. Они замечали ошибки, если как-либо предмет пропускался при счете, участвовал в счете больше, чем один раз, или на­зывался двумя, а не одним числительным. Наконец, дети за­мечали ошибку, если, определяя общее количество сосчи­танных предметов, кукла называла не последнее число ряда, а какое-либо другое, и это не зависело от длины множеств вплоть до 20.

Все эти ошибки замечались детьми, которые сами еще не умели считать, и, значит, какое-то общее понимание, как нужно считать, явно предшествует умению это делать. Таким образом, не развитие навыков счета ведет к пониманию его принципов, а, наоборот, какое-то самое общее понимание принципов счета предшествует развитию соответствующих навыков. Эти общие принципы (принцип «один к одному», принцип стабильности числового ряда, принцип, что общее количество обозначается последним произнесенным чис­лом) как раз и образуют ту именно целостную исходную сис­тему, внутри которой идет развитие счетных умений и навы­ков и закладываются основы формирования понятия числа.

Не надо, конечно, думать, что дети-до школьники пони­мают и формулируют эти принципы в той логически развер­нутой форме, в какой они излагаются математиками. Речь идет о том, что какое-то изначальное глубинное примерное понимание того, что такое правильный счет (психологиче-

Gelmon R. Prescholes counting: principles before skill / K. Gelman, E. Meek /1 Cogniti­on. - 1983. - Vol. 13. - P. 343-359.

екая природа такого понимания еще подлежит изучению и раскрытию), складывается у детей раньше, чем они начина­ют выполнять правильные счетные действия.

3.6. Дифференциация количественных

и пространственных свойств объектов при развитии

понятий о числе и количестве вещества

В этом параграфе мы расскажем о некоторых исследова­ниях выдающегося детского психолога Жана Пиаже, кото­рые давно уже стали классическими и прочно вошли в золо­той фонд науки. Речь пойдет о ходе возрастного развития способности детей решать задачи, которые получили назва­ние «задачи Пиаже на сохранение количества»¹.

Один из вариантов этого типа задач состоит в следующем.

Перед ребенком кладут какое-либо число однородных объектов (жетонов, конфет, фасолин и т. п.), расположен­ных в виде рядов или каких-либо фигур (полукруги, окруж­ности, квадраты, домики, неструктурированные агломераты и т. п.). Ребенка просят взять «столько же» предметов из дру­гой большой кучки, сколько их находится в предъявленной конфигурации. Если ребенок справляется с задачей, экспе­риментатор разрушает выложенную им конфигурацию, сдвигая или раздвигая, уплотняя или разуплотняя ее элемен­ты. После этого ребенка спрашивают, осталось ли одинако­вое количество элементов в двух совокупностях, осталось ли их «поровну» или нет.

Результаты, получаемые в этом эксперименте, неизмен­но выявляют три четко закономерные последовательные стадии в возрастном развитии способности к решению дан­ной задачи.

Первая стадия — это глобальное качественное сравнение. На этой стадии дети не способны подобрать такое же коли-

' Пиаже Жан. Избранные психологические труды. — М.: Просвещение, 1969. — 659 с; ФлейвемД. X. Генетическая психология Жана Пиаже. — М.: Просвеще­ние, 1967.

чество элементов, сколько их содержится в предъявленном множестве. То, что они делают, — это глобально-приблизи­тельно похожее воспроизведение общей формы предъявлен­ной совокупности, тогда как количество объектов в создан­ной совокупности может быть и значительно меньшим и значительно большим, чем в предъявленной. Так, в частно­сти, линейные ряды копируются лишь по их общей длине, без учета плотности.

Таким образом, ребенок оперирует, по словам Пиаже, «неанализируемыми целостностями», не разлагая их на эле­менты. Иначе говоря, количественные и пространственные свойства множеств еще полностью слиты в познании ребен­ка. Количество представлено в познании лишь в такой гло­бальной форме, как «более (менее) длинный», «более (ме­нее) широкий», «более (менее) обширный по объему» и т. п.

Вторая стадия — это качественное наглядное соответст­вие без прочной эквивалентности. На этой стадии создавае­мые ребенком копии фигур-моделей становятся более точ­ными: ребенок воспроизводит не только общую форму за­данной совокупности, но и число ее элементов. Однако, если экспериментатор изменяет форму созданной ребенком кон­фигурации, делая ее, например, меньшей или большей по за­нимаемой площади, количественное равенство двух сово­купностей отрицается: если длина ряда или площадь фигуры уменьшилась, ребенок говорит, что элементов стало мень­ше, если увеличилась — то стало больше.

Таким образом видно, что поэлементное соответствие двух множеств носит наглядно-качественный характер и еще не выходит за пределы связанности с общим целостно-гло­бальным соответствием конфигураций.

Значительно большая дифференцированность восприя­тия на этой стадии по сравнению с первой проявляется в том, что ребенок учитывает не только форму совокупностей, но и плотность элементов, т. е. разлагает (членит) общий контур конфигурации на элементы и интервалы между ними. Поэ­тому созданная им совокупность точно воспроизводит и

форму заданной конфигурации, и плотность составляющих ее элементов. Однако сами эти элементы как таковые, как самостоятельные единицы еще не отделились в познании ни от занимаемого ими общего пространства, ни от интервалов между ними.

Поэлементное соответствие двух совокупностей полно­стью освобождается от связанности с формой включающих конфигураций на третьей возрастной стадии, которую Пиа­же назвал операциональным соответствием с необходимой эквивалентностью. Дети, находящиеся на этой стадии, ясно понимают, что число элементов в двух совокупностях оста­лось одинаковым, как бы экспериментатор ни изменял фор­му и площадь созданных ими конфигураций, либо вообще выкладывают эквивалентное число элементов, не воспроиз­ведя фигуру модели.

В целом, как хорошо видно из описания поведения детей, «психологическая эволюция» способности к установлению поэлементного количественного соответствия множеств идет сначала от целостно-глобального к хорошо расчленен­ному чувственному восприятию целостных совокупностей с ясным выделением в их составе отдельных элементов и, на­конец, к полному когнитивному отделению от целостных совокупностей их элементов как самостоятельных независи­мых единиц. Отсюда способность сравнивать количество этих единиц абсолютно независимо от занимаемого ими ме­ста в пространстве. Отсюда «сохранение дискретных коли­честв» как неизменных инвариантов при любых пространст­вен ных трансформациях множеств.

Описанный ход, или общий план, психологической эво­люции в полной мере распространяется также на развитие по­знания детьми всех других количественных характеристик и отношений объектов. Рассмотрим еще один эксперимент, в котором речь идет о понимании детьми количества вещества.

Экспериментатор дает ребенку два одинаковых шарика или две одинаковые полоски пластилина и просит его ска­зать, «одинаково ли в них пластилина». После того, как ребе-

нок утверждает одинаковость, экспериментатор оставляет один из объектов неизменным в качестве стандарта, а второй изменяет: превращает шарик в колбаску, расплющивает его в кружок, разрезает на несколько кусочков и т. д., а колбаску удлиняет или укорачивает. После этого экспериментатор своими вопросами старается установить, считает ли ребе­нок, что в обоих объектах пластилина осталось «поровну» или его количество теперь не равно.

Этот эксперимент опять выявляет три последовательные стадии в развитии детей.

На первой стадии дети утверждают, что при трансформаци­ях в двух объектах уже не содержится равное количество плас­тилина: если шарик превращается в более длинную колбаску или разрезается на несколько кусочков, они говорят, что те­перь пластилина стало больше; то же самое говорят, когда одна из колбасок удлиняется; если же она укорачивается, то выносится суждение об уменьшении в ней пластилина и т. п.

Вторая стадия развития характеризуется неустойчивостью ответов и тем, что дети утверждают сохранение количества пластилина при небольших трансформациях объектов и от­рицают сохранение при больших трансформациях.

Наконец, на третьей стадии дети уверенно говорят, что пластилина осталось «столько же», что в обоих объектах пла­стилина «одинаково» при любых трансформациях формы.

Видно, что и в данном случае познание количества веще­ства начинается с этапа «брутто-величины», говоря словами Пиаже, т. е. с грубой глобальной оценки, в которой само ко­личество и его «упаковка» еще слиты и нераздельны. Поэто­му видимое изменение «упаковки» (формы объекта) влечет за собой изменение в оценке количества вещества. Отсюда все феномены «несохранения» количества.

В дальнейшем восприятие детей становится более внут­ренне дифференцированным, и они могут сравнивать «брут­то-величины» не только по общей глобальной форме объек­тов, но по разным ее составляющим (по длине, ширине). Вме­сте с тем, когда свойство количества уже начинает отделяться

от «упаковки», не очень большие ее изменения могут не ска­зываться на оценках количества вещества, а значительные — все еще довлеют над ними. Это вторая стадия развития.

Наконец, на третьей стадии количество вещества полностью освобождается в познании детей от своей «упаковки», и его ког­нитивная репрезентация становится полностью независимой от репрезентации признаков формы объектов. Отсюда «сохране­ние количества» при любых трансформациях формы.

Аналогичную эволюцию проходит развитие познания де­тей применительно к сохранению веса и объема объектов при их разнообразных трансформациях. Отметим, что ана­лиз многочисленных исследований по эффективному целе­направленному формированию у детей способности решать задачи Пиаже на сохранение дискретных количеств, количе­ства вещества и веса показывает, что оно всегда основано на процедурах, ведущих к лучшей дифференциации разных свойств объектов, к повышению когнитивной независимо­сти репрезентаций разных свойств'.

3.7. Дифференциация представлений о времени,

пространстве и скорости при восприятии детьми

движущихся объектов

Результаты исследований Пиаже рисуют выразительную картину нерасчлененно-синкретичной представленности в познании маленьких детей параметров времени, скорости и пути, проходимого движущимся объектом.

Для суждений маленького ребенка характерна почти пол­ная недифференцированность времени (его начала, конца, продолжительности) и пространства, в котором перемеща­ется движущийся объект. Первоначально ребенок путает в своих высказываниях продолжительность времени, в тече­ние которого двигался какой-либо объект, с протяженно­стью проходимого им пути. Так, если два тела начинают дви-

Чуприкова Н. И. О природе феноменов несохранения в задачах Пиаже // Вопро­сы психологии. — 1988. — № 6. — С. 41—52.

гаться одновременно и останавливаются в одно и то же вре­мя, но движутся с разной скоростью (и поэтому проходят разный путь), ребенок полагает, что они двигались разное время: он утверждает, что тот объект, который прошел боль­шее расстояние, двигался более длительное время. В той же ситуации тот объект, который двигался быстрее и прошел более длинный путь, расценивается детьми как остановив­шийся позднее. В другом остроумном эксперименте Пиаже использовал сосуд с водой, имеющий две одинаковые, отхо­дящие от него трубки и кран, одновременно пропускающий через них воду; вода из каждой трубки при открытии крана переливалась в отдельный контейнер. Если эти контейнеры имели разную форму и величину, дети утверждали неравен­ство продолжительности переливания воды и разное время начала и конца переливания.

Столь же синкретичны первоначальные оценки скорости движения, в которых скорость практически не отделяется от пройденного пути. Согласно Пиаже, для маленького ребен­ка слова «более быстрый» означают скорее всего просто «на­ходящийся впереди, «обгоняющий» и т. д. Так, если один предмет начинает двигаться одновременно с другим, но с точки, расположенной значительно дальше назад, а останав­ливаются предметы одновременно и так, что первый оказы­вается хотя бы чуть-чуть позади второго, ребенок не согла­сится, что он двигался быстрее. Если два объекта движутся параллельно и проходят равное расстояние, но один пуска­ется в путь раньше второго, а останавливаются они одновре­менно, ребенок утверждает, что скорости их были одинако­вы, либо даже, что первый двигался быстрее, так как он сна­чала «обогнал» второй при своем движении. По той же при­чине дети утверждают, что две точки, находящиеся на раз­ном расстоянии от центра колеса, движутся с одинаковой скоростью: в своих суждениях они ссылаются на то, что ни одна из точек «не выходит вперед» и «не обгоняет другую».

Дифференциация параметров времени, пути и скорости в суждениях детей — это очень длительный процесс, который обычно завершается не ранее подросткового возраста.

6. Заказ№4051.

3.8. Возрастная дифференциация суждений о сходстве —

различии объектов

В исследовании X. И. Ибрагимова' изучалось возрастное развитие суждений детей об изменении длины и ширины плас­тилиновых палочек при их трансформации экспериментато­ром. Сначала ребенку показывали две совершенно одинаковые палочки, о которых он говорил, что они «одинаковые». Затем экспериментатор раскатывал одну из них, делая ее длиннее и тоньше, и спрашивал у ребенка, одинаковы ли палочки теперь, а если нет, то в чем разница между ними. Результаты показали, что с возрастом суждения детей становятся все более диффе­ренцированными. Если самые младшие дети либо вообще ни­чего не могли сказать о различиях, либо говорили только, что одна палочка «больше» (4—5 лет), то старшие дошкольники да­вали большое число полных суждений, отмечая, что одна па­лочка длиннее и тоньше, а другая короче и толще (6—7 лет). Между этими крайними полюсами располагались разного рода «промежуточные» суждения средней степени дифференциро­ванное™ (например, «эта большая, а та — тонкая»; «эта боль­шая и длинная, а эта маленькая и короткая» и т. д.). Сопостав­ление степени дифференцированное™ суждений с успешно­стью решения задачи Пиаже на сохранение количества пласти­лина выявило высокую связь этих двух показателей.

Изучению развития суждений о сходстве — различии объектов были посвящены многолетние исследования И. М. Соловьева и его сотрудников². Вывод, к которому при­вели эти исследования, состоит в том, что познание отноше­ний сходства и различия образует у взрослых людей слож­ную, целостную гетерогенную системную структуру, разви­тие которой идет по принципу постепенной, последователь­ной дифференциации.

Первая хорошо документально обоснованная стадия суж­дений о сходстве — различии объектов названа Соловьевым

Ибрагимов X. И. Принципы организации когнитивных структур и умственное развитие: Автореферат канд. дисс. — М., 1988. — 24 с.

Соловьев И. М. Психология познавательной деятельности нормальных и аномаль­ных детей. — М.: Просвещение, 1966. — 224 с.

стадией одинаковости — неодинаковости. Здесь имеется в виду познание только двух самых грубых, самых общих отно­шений сходства и различия. Дети говорят: «Это такое же», «Это одинаковое» или «Это другое», «Это неодинаковое». При этом в категорию «одинаковых» попадают и тождественные, и похожие предметы, и предметы, имеющие общие свойства, а в категорию «разных» — предметы, признаки которых различ­ны или общие свойства которых имеют разные значения. Гра­ницы этих двух категорий размыты, неопределенны.

Первый шаг дифференциации состоит в том, что от одина­кового отделяется похожее. Два разных слова для характери­стики сходства — «одинаковые» и «похожие» появляются в лексиконе ребенка уже раньше, в среднем дошкольном возрас­те, но обозначаемые ими разные отношения еще долго путают­ся, и «одинаковое» и «похожее» легко объединяется в одну группу. Постепенно точность употребления этих терминов увеличивается, и в младшем школьном возрасте значение тер­мина «одинаковые» все больше приближается к взрослому зна­чению понятия тождества. Наряду с разделением категорий «похожести» и «одинаковости», но заметно позднее из сужде­ний одинаковости дифференцируется еще одна категория, ко­торую Соловьев называет отношением общности: констатиру­ется общность определенных признаков у двух объектов.

Описанная качественная картина дифференциации суж­дений подтверждается анализом протоколов высказываний детей разного возраста и следующими общими количествен­ными данными. Применительно к парам малоотличающих-ся предметов в I классе все 100 % высказываний о сходстве относятся к категории «одинаковости». В III классе их коли­чество падает почти вдвое и еще больше уменьшается у пяти­классников и взрослых. Вместе с тем в III классе впервые по­являются суждения о сходстве, а в V классе — о наличии об­щих признаков. Все это свидетельствует о том, что группа суждений одинаковости, имеющаяся у первоклассников, дифференцируется на три группы: одинаковости в смысле тождества, схожести и общности признаков.

Дифференциации подвергаются и суждения об отношени­ях различия. Высказывания о различиях у пятиклассников и взрослых разделяются на группы, которых не было у более младших детей. Из мало дифференцированных суждений о различиях у младших детей в подростковом возрасте рожда­ются три категории суждений: суждения о различии призна­ков, суждения об отсутствии каких-либо общих признаков у сравниваемых объектов (в соответствующих высказываниях отмечается, что какой-либо признак, имеющийся у одного объекта, отсутствует у второго) и суждения, которые Соловьев квалифицирует как познание особого. В высказываниях тако­го рода признается общность признаков сравниваемых объек­тов (например, «оба пузырька стеклянные и прозрачные», «у обеих чашек есть ручки») и вместе с тем утверждается их отли­чие («один пузырек несколько прозрачнее другого», «ручки у чашек несколько отличаются по форме»).

Соловьев подчеркивает, что дифференциация простой двучленной системы суждений о сходстве — различии объ­ектов и превращение ее в сложную гетерогенную, иерархи­чески организованную систему совершается в определенной последовательности, которую нельзя считать случайной. Дело в том, что та же последовательность имеет место у глу­хих и умственно отсталых детей, хотя каждая из стадий у них несколько больше растягивается во времени, особенно у ум­ственно отсталых детей. И в норме и в патологии последова­тельность имеет одну и ту же форму дерева, когда более гру­бые предшествующие суждения расщепляются на все более дробные и дифференцированные по содержанию.

3.9. Дифференциация когнитивных репрезентаций фактов и объясняющих их гипотез и теорий

В последние годы начаты исследования в такой важной области, кате психология оперирования научными теориями¹. Авторы, которые начали этот цикл исследований, пришли к

' Kuhn D. Children and adults as intuitike scientists // Psychol. — 1989. — Vol. 94. — P. 674-689.

выводу, что вначале в когнитивных репрезентациях индивида проблемное пространство гипотез и фактических данных представлено как единое недифференцированное целое. Если данные и теория в единой целостной репрезентации не противоречат друг другу, то индивид считает это совершенно естественным, так как «таков порядок вещей». Но когда они приходят в противоречие, индивид либо бессознательно «подправляет» теорию, не отдавая себе отчета, что делает это, либо «подправляет» факты, избирательно отбирая только «нужные» и тем самым искажая фактическое положение ве­щей. Иначе и не может быть, если репрезентации фактов ког­нитивно не отделены от репрезентаций гипотез и теорий, если элементы того и другого диффузно «проникают» друг в друга. Лишь на высокой ступени теоретического мышления имеет место полная дифференциация трех когнитивных «про­странств»: «пространства» теории, психологического «про­странства» фактов и «пространства» их соотнесения и взаимо­действия. До этой ступени познания, которую можно назвать метакогнитивной, не доходят ни дети, ни большинство взрос­лых людей. Она свойственна, считают авторы, только уче­ным, да и то не всем и не всегда. Только на этой ступени мыш­лению становятся доступными альтернативные теоретиче­ские описания фактов, рассмотрение фактов в рамках разных теоретических гипотез и систем.