1) Наивероятнейшее число k0 событий в серии из п повторных независимых испытаний находим как целое число, заключённое в пределах
пр-q <k0 < пр +р.
В нашей задаче общее число испытаний п = 400 (количество отобранных для контроля изделий).
р = (90%) = 0,9 - вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным (вероятность «успеха»).
q = 1-р = 1-0,9=0,1 - вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным(вероятность «неудачи»).
Подставляя числовые данные в двойное неравенство, получим:
В этих пределах находится единственное целое число: k0 = 360, т.е. вероятнее всего, что из наугад выбранных 400 изделий, стандартными окажутся 360.
Заметим, что при больших значениях п наивероятнейшее число k0 событий приближенно можно находить из соотношения
.
2)Найдем вероятность P400(360), используя локальную теорему Лапласа:
, где
; - нормированная функция Гаусса.
Таблицы функции Гаусса имеются в Приложениях.
Вычисляем x, используя найденные ранее значения k=k0, p и q:
.
По таблицам находим, что .
|
|
Тогда искомая вероятность будет равна:
.
3)Вероятность того, что среди 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных найдем, используя интегральную теорему Лапласа:
, где
- функция Лапласа,
В данном вопросе под «успехом» понимается событие, состоящее в том, что наугад выбранное изделие является не стандартным[1]. Отсюда:
р - вероятность того, что наугад выбранное изделие является не стандартным, р = 0,1;
q - вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным, q = 0,9.
Находим аргументы функции Лапласа:
;
.
Тогда .
Значения функции Лапласа находим в Приложениях, учитывая, что эта функция нечетная Ф(-х) = -Ф(х): Ф(1,67) =0,4525, Ф(-1)=-0,3413.
Окончательно получаем:
.
Ответ: 1) Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий, стандартными окажутся k0 = 360 шт.
2) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся ровно 360, равна .
3) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна .