а) Чтобы значения, представленные в таблице, являлись законом распределения дискретной случайной величины, должны быть выполнены два условия:
1) значения xi, следуют в строго возрастающем порядке;
2) сумма всевозможных вероятностей рi, равна единице, т.к. в таблице представлены все возможные значения дискретной случайной величины и они образуют полную группу событий:
.
Проверяем их выполнение.
Условие 1) выполнено: значения xi дискретной случайной величины расположены в строго возрастающей последовательности - 0, 1, 2, 3.
Проверяем второе условие:
.
Вычисляем сумму вероятностей, стоящих во второй строке:
.
Второе условие тоже выполнено.
Значит, в таблице действительно приведен закон распределения дискретной случайной величины.
б) Находим основные характеристики заданной дискретной случайной величины.
1) Определим математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины:
Итак, математическое ожидание .
2) Для нахождения дисперсии по формуле D(x) = М (х2) - а2 необходимо сначала найти М(х2) - среднее значение квадрата этой случайной величины. Запишем закон распределения квадрата случайной величины xi2:
|
|
X | ||||
pi | 0,29 | 0,41 | 0,21 | 0,09 |
Определим математическое ожидание или среднее значение квадрата дискретной случайной величины xi2:
Находим дисперсию:
D(X) = M(x2)-a2 = 2,06-(1,10)2 = 2,06-1,21 = 0,85.
3) Вычисляем среднее квадратичное отклонение , характеризующее средний разброс значений хi дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения а. Оно равно корню квадратному из дисперсии:
.
в) Построим график распределения случайной величины. Для этого по оси абсцисс откладываем значения заданной случайной хi =0; 1; 2; 3, а по оси ординат - соответствующие им вероятности рi.
Рис.1. График распределения случайной величины.
Ответ: а) Заданная в условии задачи таблица представляет закон распределения дискретной случайной величины.
б) Математическое ожидание этой случайной величины ; её дисперсия D(x) = 0,85; среднее квадратичное отклонение .