Задача К1

Точка В движется в плоскости xy (рис.К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f₁(t), y=f₂(t), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f₂(t) дана в табл. К1 (для рис.0-2 в столбце 2, для рис.3-6 в столбце 3, для рис.7-9 в столбце 4). Как в задачах С1, С2 номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

Указание. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а так же формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания её движения.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1=1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчётах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos2α=1-2sin²α=2cos²α-1; sin2α=2sinαcosα.

Таблица К1

Номер условия
Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy: (x, y – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

(1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):

(2)

Определим положение точки в моменты времени t=0, t=1c

при М₁(1;-1)

М₀(1,6; 0,41)

2. Скорость точки найдём по её проекциям на координатные оси:

и при

(3)

3. Аналогично найдём ускорение точки:

и при

(4)

4. Касательное ускорение найдём дифференцируя по времени равенство v²=v²_x+v²_y. Получим

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдём сразу, что при .