Гл.3 Упр.21

1) – 3) В формулах из 1-3 две переменные: р и q. Построим таблицы для всех формул из 1-3.

функции оценок переменных p и q	p	q	рÚq	р Ú q	рºq	рÉq	qÉр	(рÉq)&(qÉр)	Øр	ØрÚq
j1	и	и	и	л	и	и	и	и	л	и
j2	и	л	и	и	л	л	и	л	л	л
j3	л	и	и	и	л	и	л	л	и	и
j4	л	л	л	л	и	и	и	и	и	и

1) Рассмотрим отношение между строгой и нестрогой дизъюнкцией: pvq - p v q.

(а) pvq |¹p v q (при j₁имеем j₁(pvq)=и, j₁(p v q)=л)

(б) p v q |= pvq (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pvq) истинна, а заключение pvq – ложно.)

Из (а) и (б) и следует, что строгая дизъюнкция логически сильнее нестрогой, структура pvq логически подчиняется p v q.

2) (pºq) – (pÉq)&(qÉp)

(а) pºq ⊨ (pÉq)&(qÉp) (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pºq) истинна, а заключение (pÉq)&(qÉp) – ложно.)

(б) – (pÉq)&(qÉp) ⊨pºq (нет оценки параметров р и q, при которой посылка (pÉq)&(qÉp) истинна, а заключение (pºq) – ложно.)

Из (а) и (б) и следует, что формулы (pºq) и (pÉq)&(qÉp) логически эквивалентны.

3) p – Øpvq

(а) p|¹ Øpvq (по j₂: j₂ (р) = и, j₂(Øpvq)=л)

(б) Øpvq|¹ p(по j₃ или j₄: j₃(Øpvq)=j₄ (Øpvq)=и, j₃(р)=j₄ (р)=л)

Из (а) и (б) следует, что р и ØрÚq несравнимы по силе.

Гл.3 Упр.24 в) sapienti sat

[1] Графы набраны Т.В.Сальниковой

[2] содержательно за каждым таким символом стоит какое-то высказывание.

[3] Запись ÚqÚs можно превратить в формулу двумя способами: либо добавить слева от дизъюнкции перед q формулу (например, pÚ(qÚs)), либо убрав эту дизъюнкцию: qÚs.

[4] в логической системе, развиваемой ниже, и в подавляющем большинстве логических теорий

[5] Часто вводят договоренность о силе связок: какая связка связывает сильнее каких (так же как, например, в арифметике умножение связывает сильнее сложения, т.е. при отсутствии скобок, вычисляется первым); если имеется договоренность, что знак & связывает сильнее знака импликации, тогда приведенная запись прочитывается однозначно ((p&q)ÉØr) и является формулой.

[6] Ø(sÚs₁) эквивалентно Øs& Øs₁ (это обосновывается дальше, в теме 3)

[7] Да, иногда этими греческими буквами обозначаются не функции оценок – как выше – а произвольные формулы.

[8] Ср. «Например, в ситуации, когда тренер объясняет начинающему шахматисту правила записи шахматных партий, в качестве объектного языка выступает язык шахматной нотации, а в качестве метаязыка – разговорный язык, на котором ведется обучение» (В.Бочаров, В.Маркин «Основы логики» М. 1994 с.11, 12)

[9] Иногда свойство логической недетерминированности относят только к высказываниям, а не к формулам. (Например, в В.Бочаров, В.Маркин «Основы логики») Тогда говорят, что высказывание – логически недетерминировано, е.т.е. существует оценка переменных, входящих в ее состав, при которой она истинна, и существует оценка переменных, при которых она принимает значение «ложь».

[10] выражение в скобках указывает, что надо использовать нестрогую дизъюнкцию (Ú), выражение «или и то, и другое» не отображайте формульно (р & q): эта информация присутствует в Ú.

[11] «или» нестрогое

[12] Замечание в скобках не входит в структуру рассуждения.

[13] Формула называется законом тождества, значит в ней – судя по названию – должна фигурировать эквиваленция, а закон иметь вид АºА. Почему закон записывается с импликацией?

[14] эквиваленция (º) также коммутативна (перестановочна)

[15] эквиваленция (º) также ассоциативна

[16] следующие две условно-категорические схемы неправильны: (1) AÉB, В ⊨ А;

(2) AÉB, ØА⊨ØВ.

[17] Не во всех логических теориях теорема дедукции справедлива.

[18] Аналогия: если кто-то в выражении 5+3² сначала пытается вычислить сумму, а затем возводит в квадрат, он допускает ошибку того же типа.