2015-04-08
2582
Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.
Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n -м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.
Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» 
в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).
Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли
.
Пример 6.1. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.
Решение. а) По условию задачи 
. Так как вероятность наступления события А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испытания, то задача подходит под схему Бернулли. Находим вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий нет ни одного испорченного 
. По формуле Бернулли
|
|
|
а) 
;
б) 
,
.
Ответ: а) 
; б) 
.
Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.
Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами 
и 
: 
. Если 
— целое число, то наивероятнейших чисел два и 
.
Пример 6.2. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?
Решение. По формуле найдем 
По условию 
.
Следовательно, имеются два наивероятнейших числа 
или 
.
Ответ: или .
Пример 6.3. Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0,8. Сколько надо произвести бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
Решение. Известно, что 
. Тогда 
и n найдем из системы неравенств
Так как n — целое число, то 
или 
.
Ответ: 24 или 25.
