Доказательство. 1) Инъективность отображения w

1) Инъективность отображения w.

Пусть точки A, B Î E¹ таковы, что w(A) = w(B) = x (xÎR) (то есть координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Если x > 0, то A,B Î l₊ и x = |OA| = |OB|. Тогда точки A и B совпадают, так как на луче отложить отрезок данной длины можно единственным образом.

Если x < 0, то A,B Î l _-, -x = |OA| = |OB| и ситуация аналогична предыдущей.

Если x = 0, то |OA| = |OB| = 0 и точки O,A,B совпадают по свойству 1 (из определения расстояния)

2) Сюрьективность отображения w.

Пусть x Î R, найдем такую точку A Î E¹, что w(A) = x.

Если x > 0, то отложим на луче l₊ отрезок длины x: |OA| = x. Тогда по определению функции w координата точки будет равна x.

Если x < 0, то отложим на луче l _- отрезок длины (-x): |OA| = -x, тогда w(A) = x.

Если x = 0, то в качестве точки A возьмем точку O.

Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждого действительного числа x Î R существует ровно одна точка A Î E¹ такая, что w(A) = x.

Обозначение: вместо записи w(A) = x мы будем употреблять более распространенную запись A(x).

Упражнения.

(1) Пусть на прямой введена декартова система координат, и пусть координаты точек A и B следующие: A(x_A), B(x_B).

Докажите, что если 0 < x_A < x_B или x_B < x_A < 0, то точка A лежит между точками O и B.

(2) Как изменятся координаты точек, если на прямой ввести новую декартову систему координат?