1. Общее уравнение прямой на плоскости.
Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида
, (11.1)
где – постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно и .
2. Неполные уравнения прямой. Если в общем уравнении прямой (11.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;
2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;
3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;
4) ; уравнение может быть записано в виде и определяет ось ;
5) ; уравнение записывается в виде и определяет ось .
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной , то получим уравнение
, (11.2)
которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси . Коэффициент равен ординате точки пересечения прямой с осью .
4. Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой , то поделив все члены уравнения на , получим уравнение вида
(11.3)
которое называется уравнением прямой в отрезках, и - отрезки, отсекаемые прямой от осей координат .
5. Нормальное уравнение прямой.
Если обе части общего уравнения прямой умножить на число , которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение
. (11.4)
Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия . Коэффициент в нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси .
6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если даны координаты двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:
. (11.5)
Если , то уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид . Если , то уравнение имеет вид .
7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Всякий ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора имеет вид:
. (11.6)
Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.
8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой t и из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:
(11.7)
Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора .
9. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле: .
Отклонением точки от прямой Ах + Ву + С = 0 называют величину .
10. Угол между прямыми.
Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями
, , то:
1) если - прямые совпадают;
2) если - прямые параллельны;
3) если - прямые пересекаются.
Угол между прямыми можно определить по формуле:
.
Если , то прямые перпендикулярны.
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
, то:
1) если - прямые параллельны;
2) если - прямые перпендикулярны;
3) если - прямые пересекаются.
Угол между прямыми определяется по формуле: .
Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы:
в случае задания прямых их общими уравнениями. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система имеет вид:
Пример13. Даны вершины треугольника А(-5; 10), В(5; 16), С(3; 2). Написать:
1) уравнения сторон треугольника;
2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А;
3) уравнение биссектрисы угла С;
4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины А.
Решение.
1). Запишем уравнение стороны АВ: так как координаты вершин А и В известны, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
или преобразуя получим
Запишем уравнение стороны АС: или
Запишем уравнение стороны ВС: , или
2). Вычислим координаты М середины стороны ВС:
Длину медианы АМ вычислим по формуле:
Запишем уравнение медианы АМ: или
Вычислим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого выразим у из ее уравнения: ,
тогда угловой коэффициент . Высота, опущенная из вершины угла А, перпендикулярна стороне ВС. Ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности: . Тогда .
Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через точку А(-5; 10) с угловым коэффициентом : .
Определим из условия, что точка А принадлежит прямой
Подставляя в уравнение высоты, получим: или .
3) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:
, где D – точка пересечения биссектрисы со стороной АВ.
Найдем координаты точки D по формулам деления отрезка в данном отношении:
Запишем уравнение биссектрисы СD:
, или после преобразования,
4). Длина высоты равна расстоянию d точки А от прямой ВС. Запишем нормальное уравнение прямой ВС:
Длина медианы АМ найдена в пункте 2.
Ответ: 1) , , ;
2) - уравнение медианы,
- уравнение высоты;
3) - уравнение биссектрисы угла С;
4) - длина высоты; - длина медианы.