Язык-объект и метаязык в логике

В логике различают язык-объект (объектный язык) – язык, в котором формализуются выражения естественного языка (для последующего логического анализа), – и метаязык, то есть язык логики, в котором записываются логические характеристики и логические отношения между выражениями языка-объекта. В качестве метаязыка используется или уточненный естественный язык, или формализованный язык логики. Во втором случае для построения выражений языка-объекта мы будем использовать рукописные стандартные символы (или символы, набранные курсивом, как в таблице 2.2), а для выражений метаязыка – те же символы, но набранные печатным шрифтом. Метаязык логики включает в себя три части: (1) язык-синтаксис, в котором описываются правила построения выражений объектного языка, (2) семантический метаязык, в котором описываются правила осмысления и правила интерпретации выражений объектного языка, (3) язык прагматики.

Неразличение объектного языка и метаязыка в традиционной логике приводило к парадоксальным ситуациям. Уже в Древней Греции был сформулирован первый парадокс такого рода – «Лжец». Критянин Эпименид высказал суждение: «Все критяне – лжецы». Истинно или ложно это суждение? Если оно истинно, то, согласно его смыслу, оно ложно, так как высказано критянином (а все суждения, высказанные критянами, ложны, так как все критяне – лжецы). Если же оно ложно, то оно истинно, так как оно утверждает свою ложность. Следовательно, имеется осмысленное высказывание, которому невозможно приписать истинностную оценку, что противоречит закону исключенного третьего; это обстоятельство и обусловливает парадоксальный характер данной ситуации. Поскольку парадокс связан с семантическими характеристиками истинно и ложно, его принято относить к семантическим парадоксам.

Другой пример семантического парадокса приводит польский логик А. Тарский в знаменитой работе «Понятие истины в формализованных языках», изданной в 30-е годы ХХ века. Рассмотрим предложение:

«Предложение, написанное на данной странице, в строках 3 – 4 снизу, ложно».

Очевидно, предложение в кавычках осмысленно, а значит должно выражать истинное или ложное высказывание (здесь мы истинностную оценку относим к самому предложению в соответствии с основной идеализацией ЯЛФРТ). Однако если оно истинно, то, в соответствии с его смыслом, оно ложно; если же оно ложно, то оно истинно, так как утверждает свою ложность. Следовательно, имеется осмысленное предложение, которому нельзя приписать никакого значения истинности.

Парадоксальные ситуации возникают в обоих случаях потому, что семантическая оценка предложения (истинно или ложно) формулируется в самом этом предложении, составляя его смысл. Устранение парадоксов достигается различением языка-объекта и метаязыка; в таком случае оба парадоксальных предложения просто не могут быть сформулированы в языке логики.