Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если êAêне равно 0, то система имеет единственное решение:x₁=êA₁ê/ êA ê; x₂=êA₂ê/ êA, где А_i, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

Определители второго порядка (ОВП) имеют вид

=.|a b|

|c d|

Связь ОВП со СЛАУ размерностью 2*2: Представим себе СЛАУ размерностью 2*2 следующего вида

а11*х1+а12*х2=a10

а21*х1+а22*х2=a20

Домножим обе части первого уравнения на a₂₂, а обе части второго уравнения на -a₁₂

а11*а22*х1 + а12*а22*х2 = a10*а22

-а12*а12*х1 + -а12*а22*х2 = -a20*а12

Выражаем неизвестную переменную x₁ и получаем:

х1 =

В числителе и в знаменателе получившейся дроби мы видим вычисленные ОВП.

Проделаем аналогичную процедуру относительно x_2.

Значит, для нахождения решения СЛАУ размерностью 2*2 нужно лишь вычислить ОВП составленные из определенных комбинаций коэффициентов при неизвестных и свободных членов и поделить их друг на друга, таким образом, что в числителе дроби ОВП содержащий свободные члены, а в знаменателе соответственно не содержащий.

Пусть ¹0. Тогда СЛАУ имеет единственное решение.

Пусть =0, а 1=0 и 2=0. Тогда СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.

Пусть =0, а хотя бы один из 1, 2 неравен 0, тогда СЛАУ не имеет решений.

Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера nxn ранга n? Ответ обоснуйте.

Ранг матрицы – число линейно независимых столбцов или строк, содержащихся в данной матрице.

Число ненулевых диагональных элементов равно 2, следовательно, r(B)=2.

12. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка 3. Приведите примеры таких матриц. Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожд.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

13.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что система совместна тогда и только тогда, когда основной ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = a1, Х2 = a2, …., Х1 = an, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Система линейных алгебраических уравнений AX = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы, по теореме Кронекера-Капелли.

14.Сформулируйте определение несовместной системы линейных уравнений. Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = a1, Х2 = a2, …., Х1 = an, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Для любой системы возможны только три случая:

1) система не имеетни одного решения;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

АХ = 0.

х1 х2 х3 х4 х5 0

1 0 0 a d 0

0 1 0 b e 0

0 0 1 c f 0

Здесь будет 3 базисных переменных, напр. х1, х2, х3, а остальные две свободные (х4,х5) которые могут принимать любые значения, поэтому данная СЛАУ будет иметь бесконечно много решений.

15.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что совместная система линейных уравнений имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Приведите примеры.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = a1, Х2 = a2, …., Х1 = an, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной и неопределенной когда она имеет бесконечно много решений.

Совместная система лин-х уравнений имеет одно решение в случае, когда кол-во ур-й совпадает с кол-вом переменных. Имеет бесконечно много решений, когда кол-во переменных превышает количество ур-й и когда кол-во уравнений совпадает с кол-вом переменных, и при этом в процессе элементарных преобразований строк матрицы возникают нулевые строки.