Множество V называется линейным векторным пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на число: а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a, наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, (a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам.
Примерами лин. пространств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rn, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х1,х2,х3,х4) в R4, выделенное условием V={x€R4|x1+x2+x3+x4=0}.
18. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Докажите, что 4 строки в R4 линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из этих строк, равен нулю.
Система векторов а1, а2 и аm называется линейно зависимой, если существуют такие числа с1, с2, сm (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:
|
|
с1ā1+с2ā2+...+сmām =0.
Пример: дана система из 4 векторов в R5 . Выяснить, является ли эта система лин. завис.
а1=(-1,3,3,2,5)
а2=(-3,5,2,3,4)
а3=(-3,1,-5,0,-7)
а4=(-5,7,1,4,1)
Решение. Пишем уравнение х1а1+х2а2+х3а3+х4а4=0 или, в координатной записи,- систему ур-й:
-х1-3х2-3х3-5х4=0
3х1+5х2+ х3+7х4=0
3х1+2х2-5х3+х4=0
2х1+3х2 +4х4=0
5х1+4х2-7х3+х4=0
Если эта система имеет только нулевое решение, то система исходных векторов лин независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система лин завис. Решим систему ур методом Гаусса. Получилась система уравнений с базисными неизвестными х1,х2,х4, и свободными неизвестным х3. Наличие свободного неизвестного означает, что решений - бесконечное множество, значит, исходная система векторов линейно зависима.
19. Какие векторы называются коллинеарными? Докажите, что система, содержащая коллинеарные векторы, линейно зависима.
Два вектора а и b называются коллинеарными, если один из них выражается через другой ā = kb, k≠0.
Пусть дана система из 2-х векторов а и b. Если система линейно зависима, то один из векторов ā = kb. Т.е. эти 2 вектора являются коллинеарными.Таким образом, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
20. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что любая система векторов, содержащая пропорциональные векторы, линейно зависима.
Еслисистема векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.
|
|
Пусть задана сист. из 3 векторов а1,а2,а3 и причем часть системы, состоящая из двух векторов а1 и а2 лин. зависима, т. е. справедливо равенство
с2а2+с3а3=0, где с2 или с3 отличны от 0. добавим к обеим частям вектор 0=0а1, получим равенство 0а1+с2а2+с3а3=0, означающее лин. зависимость всей системы а1, а2, а3.
Возьмем определитель матрицы СЛАУ второго порядка, раскроем его и приравняем к 0. После этого, перенося слагаемое с отрицательным знаком в правую часть и записав результат в виде пропорции, увидим, что коэффициенты в СЛАУ пропорциональны, следовательно, векторы, имеющие координатами эти коэффициенты (то есть а=(а11, а12) и а=(а21, а22)), линейно зависимы
Если выполняется равенство ā = kb, значит, векторы пропорциональные и коллинеарные. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Можно ли из линейно зависимой системы векторов выделить линейно независимую подсистему? Можно ли из линейно независимой системы векторов выделить линейно зависимую подсистему? Приведите примеры. Ответы обоснуйте.
Система, включающая вектор 0, линейно зависима.
Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то вся система линейно независима.
Если система { а1,a2…,as } линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через а1,a2…,as
Доказательство. По условию справедливо равенство вида
c1a1+c2a2+…+csas+са=0, где не все числа с1,c2,…cs равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с ¹0. В противном случае мы получили бы равенство c1a1+c2a2+…+csas = 0,
означающее линейную зависимость системы а1,a2…,as. Пользуясь тем, что с не=0, можно из равенства
(c1a1+c2a2+…+csas+са=0) выразить а через векторы а1,a2…,as.-
22. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Является ли линейно зависимой система векторов, если она содержит линейно зависимую подсистему?
Система векторов а1, а2 и аm называется линейно зависимой, если существуют такие числа с1, с2, сm (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:
с1ā1+с2ā2+...+сmām =0.
Система векторов является линейно зависимой, если она содержит линейно зависимую подсистему согласно свойству линейно зависимых систем векторов: Если часть системы ЛЗ, то и вся система ЛЗ.
Доказательство. Пусть дана система из 3-х векторов ā1,ā2,ā3, причем часть системы, состоящая из 2-х векторов ā1,ā2, ЛЗ, т.е. справедливо равенство с2 ā2+с3 ā3 =0, где с2 или с3≠0. Добавив к обеим частям вектор 0=0ā1,Þ0ā1 + с2ā2+с3ā3 =0, т.е. означает ЛЗ всей системы ā1,ā2,ā3
23. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5 линейно независимы.
Еслисистема векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.
Докажем, что любая ступенчатая система векторов линейно независима. Рассмотрим 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5.
k1ā+k2b+k3ĉ+…=Ô
k1a1+k20+k30+…=0
k1a2+k2b2+k30+…=0
………………….
a1,b2,c3,…≠0
след-но, k1=k2=…=0, в силу произвольности коэффициентов k данная сист. линейно независима.
24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.
Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Примеры линейных пространств:
1) пространство Rn;
2) множество решений однородной системы линейных уравнений;
3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;
4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;
|
|
5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;
6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.