Стохастические модели

При создании моделей технологических операций и процессов приходится сталкиваться с такими случаями, когда моделируемое яв- ление не удается описать в виде детерминированных функциональ- ных связей. Причиной этому могут быть как сильное влияние различ- ных случайных возмущений, так и принципиально случайный характер самого явления, т.е. интересующее нас явление не искажено помехами, а вызвано совместным действием различных случайных факторов.

Наиболее типичным случайным явлением являются отказы обо- рудования и элементов автоматики в период их нормальной эксплуа-

тации. С одной стороны, опыт показывает, что рано или поздно, с

большей или меньшей интенсивностью отказывают большинство де- талей или электронных узлов, а с другой — совершенно невозможно предсказать точно момент времени, когда произойдет отказ.

Очевидно, можно говорить лишь о вероятности наступления од- ного или нескольких отказов в определенном интервале времени либо

o том, что время безотказной работы (число отказов равно нулю) не

превысит определенного значения.

Аналогичная постановка вопроса справедлива применительно к погрешностям измерения параметра. В силу целого ряда случайных

факторов невозможно предсказать, какова будет погрешность при

конкретном измерении, хотя ясно, что она не бывает больше какого- то значения и что существует понятие средней погрешности по конечной совокупности измерений. Случайным можно также представить отклонение параметров заготовок и даже готовых деталей от нормативных. При этом для годных изделий эти отклонения находятся в пределах допусков, для бракованных превышают допуск.

В рассмотренных случаях, особенно при взаимодействии и взаи- мовлиянии различных случайных факторов, поведение интересующе- го нас параметра и его значение не могут быть представлены как функция взаимодействия средних значений определяющих его факто- ров. Конечный результат должен быть получен в виде случайной ве- личины как результат взаимодействия случайных факторов в повто- ряющихся реализациях процесса. Только после статистической обработки полученных результатов можно говорить об оценке сред- него значения и разброса. Такая модель процесса в отличие от детер- минированной называется стохастической (случайной).

Стохастические модели также отражают объективные законо- мерности, присущие данному процессу, однако представление их в

виде детерминированных функций либо невозможно, либо нецелесо-

образно на данном этапе. Для их представления используется аппарат случайных функций, когда случайные явления и процессы характери- зуются случайными величинами, подчиняющимися вероятностным законам.

Статистически устойчивые (достоверные) результаты модели- рования случайных явлений и процессов могут быть получены лишь по достаточно большому числу реализаций (опытов), причем, чем больше разброс значений случайной величины, тем большее число реализаций требуется. Реально такое моделирование возможно лишь с использованием быстродействующих ЭВМ.

Для этой цели ЭВМ должна иметь возможность:

— генерировать последовательность случайных чисел с за- данными законом распределения и параметрами (матема-

тическое ожидание, дисперсия и т.п.);

— вычислять вероятность наступления случайного события, подчиняющегося определенному закону, в заданном ин-

тервале времени;

— воспроизводить факт наступления случайного события и т.д.

Во всех указанных случаях необходимо знать закон распределе- ния случайной величины или события и его параметры. Необходимые

для этого данные получают, проводя натурный эксперимент по реализации подобного явления. Статистическая обработка такого эксперимента позволяет не только выявить статистические закономерности случайного явления, но и оценить достоверность результатов в зависимости от объема эксперимента (числа реализаций).

Начальным этапом обработки экспериментальных данных явля- ется построение вариационного ряда и гистограммы. Для этого фик- сируется ряд значений дискретной случайной величины х (например, число бракованных деталей за одну смену) в течение п смен. Сово- купность значений называется выборкой или статистическим рядом.

Располагая разные измеренные значения в порядке возрастания, получаем вариационный ряд. Далее составляем таблицу частот, в ко- торой каждому значению из вариационного ряда хi, ставится в соот- ветствие экспериментальная частота наблюдавшегося явления:

где

ni д

n д

— число смен, когда было хi, бракованных деталей;

— общее число смен, когда проводились наблюдения.

Если случайная величина непрерывна (погрешность измерения), то ее экспериментальные значения представляются в виде интерваль-

ной таблицы частот, в которой указаны интервалы

сi − ci +1 значений

случайной величины, а также, как и для дискретной величины, часто-

ты попадания ее в этот интервал

где

mi н

— число значений случайной величины, не выходящих

за пределы i -го интервала;

m н

величины.

— общее число зафиксированных значений случайной

По данным интервальной таблицы строят гистограмму, пред- ставляющую собой ряд сопряженно-расположенных на горизонталь- ной оси прямоугольников, основание которых равно интервалу

сi − ci +1

значений случайной величины, а площадь равна

μ i.

Построив графики по данным таблицы частот или гистограммы, можно по их виду предложить гипотезу о соответствии данных опыта тому или иному закону. После этого проводится проверка степени со- ответствия экспериментальных данных предполагаемому закону. Проверка производится с использованием различных критериев со- гласия. Наиболее распространенным является критерий χ2 (хи- квадрат) Пирсона.