С математической точки зрения поставленная задача является задачей безусловной минимизации функции нескольких переменных. Функция F(c 0, c 1, c 2, …, cm) является квадратической одноэкстремальной, поэтому ее минимум можно искать, исходя из необходимых условий экстремума для функций нескольких переменных.
Запишем эти условия:
(3.5.4)
Сократив на 2, преобразуем систему линейных уравнений (3.5.4) к виду
(3.5.5)
Уравнения (3.5.5) называют нормальными. Матрица системы линейных уравнений (3.5.5) имеет вид
Г = (3.5.6)
Матрицу Г называют матрицей Грамма.
Введем обозначения:
j i = (j i (х 0), j i (х 1), j i (х 2), …, j i (хn))т, i = 0, 1, 2, …, m, (3.5.7)
y = (y 0, y 1, y 2, …, y n)т; c = (c 0, c 1, c 2, …, cm)т.
Тогда матрицу Грамма можно записать в более традиционном виде
Г = , (3.5.8)
а систему (3.5.6) – в матричной форме
Г c = g. (3.5.9)
Здесь (j i, j k), i, k = 0, 1, 2, …, m – cкалярное произведение векторов j i и j k;
g = (g0, g1, g2, …, g m)т; g i = (y, j i), i = 0, 1, 2, …, m. (3.5.10)
Очевидно, что матрица Г симметричная. Можно показать, что она положительно определенная. Определитель матрицы Г (определитель Грамма) отличен от нуля в силу линейной независимости базисных функций j0(х), j1(х), j2(х), j m (х). Следовательно, система (3.5.4) имеет единственное решение, которое может быть найдено любым из известных методов решения систем с симметричной положительно определенной матрицей. В результате решения системы (3.5.4) будут найдены значения модельных параметров и определена наилучшая в смысле МНК модель j (х,
|
|
Процесс построения наилучшей в смысле метода наименьших квадратов аппроксимации таблично заданной на отрезке [ a, b ] функции можно представить в виде следующего алгоритма.