Учебное пособие

САРАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ

А.И. Першин, О.С. Балаш, А.Ф. Буланов, В.П. Вешнев

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Саратов

ББК 65.050.я 73

Прикладная математика. Учебное пособие/ А.И. Першин, О.С. Балаш, А.Ф. Буланов, В.П. Вешнев, Саратов,2000

В данном пособии в краткой форме излагаются основные положения учебного материала по прикладной математике, приводятся решение типовых задач.

Для студентов 1 и 2 курсов всех специальностей, обучающихся на заочной форме обучения в Саратовском институте МГУК.

Рецензент:

- к.т.н., доцент Саратовского государственной технического университета Гончарова Г.А.

Рекомендовано к печати кафедрой высшей математики и информационных технологий и одобрено учебно-методическим советом Саратовского коммерческого института МГУК

ББК 65.050.я 73

Ó А.И.Першин О.С. Балаш, А.Ф. Буланов, В.П. Вешнев, 2000

Введение

Высшая и прикладная математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной в системе подготовки специалистов в области экономики, менеджмента, товароведения и коммерции.

В результате изучения курса прикладной математики студент должен овладеть основными понятиями, идеями и методами математики для решения экономических, управленческих и коммерческих задач. Особое внимание уделяется практическому применению основных математических понятий и методов при решении типовых задач коммерции и экономики.

Курс “Прикладная математика” содержит разделы теории вероятностей и элементы математического программирования.

Цель предлагаемого материала - оказать помощь студентам-заочникам в их самостоятельной работе по изучению курса “Прикладной математики”.

Глава 1. Теория вероятностей

1.1. Испытания и события

Теория вероятностей это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных явлений.

Первичными понятиями теории вероятностей являются испытания и события. Под испытанием понимают опыт, эксперимент, наблюдение, приводящий к случайному результату. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, …, или А₁, А₂, А₃,....

В качестве примера рассмотрим процесс подбрасывания монеты. В этом случае испытанием является подбрасывание монеты, а его исходы — событиями. В данном опыте рассматриваются два события: появление цифры или появление “герба”.

Событием также можно считать выход со станка деталей определенного размера или деталей, размеры которых лежат внутри определенного интервала, а также появление бракованных изделий.

Событие называют возможным или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

Примером случайного события могут служить выявление дефектного изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному.

Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называют невозможным, если оно не может произойти в условиях данного испытания.

Так достоверным событием при бросании монеты является событие, заключающееся в выпадении либо орла, либо решки. Невозможным событием при этом испытании является событие, заключающееся в том, что не выпадет ни орел, ни решка.

События называют равно возможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Если случайные события некоторого эксперимента не могут быть разложены на более простые, то они называются элементарными. При бросании игральной кости существуют элементарные события, заключающиеся в выпадении любой из цифр от единицы до шести.

Различают совместные и несовместные события. События называют совместными, если наступление одного из них сопровождается наступлением других в одном и том же испытании. В противном случае события являются несовместными, то есть появление одного события исключает появление другого.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Под противоположным событием понимают событие , которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.

Например, рассмотрим подбрасывание монеты. В этом случае имеем два элементарных события: А - выпадение герба; В -выпадение решки. События А и В не могут произойти одновременно при одном подбрасывании монеты. Таким образом, события А и В несовместные. А и В образуют полную группу событий, так как при одном подбрасывании монеты не может быть других исходов. Событие А (выпадение герба) противоположно событию В (выпадение решки).

1.2. Классическое определение вероятности события

Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится опреде­ленная мера, которая называется вероятностью события.

Случай называют благоприятным или благоприятствующим некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Вероятностью некоторого события А называется отношение числа благоприятствующих данному событию равновозможных испытаний m к общему числу n равновозможных испытаний:

, () (1.1)

Это классическое определение вероятности.