Решение. При выборе шара равновозможно извлечь любой из 19 шаров, следовательно n=19

При выборе шара равновозможно извлечь любой из 19 шаров, следовательно n =19. Из этих 19 шаров белого цвета 12, т.е. m = 12. Таким образом, вероятность вынуть белый шар равна:

Аналогично, вероятность извлечь черный шар .

1.3. Статистическое определение вероятности события

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев.

На практике классическое определение вероятности часто неприменимо по двум причинам. Во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев n должно быть конечно, на самом же деле оно зачастую неограниченно. Во-вторых, иногда невозможно представить исходы опыта в виде схемы случаев.

Было замечено, что частота появления событий, не сводящихся к схеме случаев, при многократно повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Это свидетельствует о том, что данные события также обладают определенной степенью объективной возможности появления в опыте, меру которой можно представить в виде относительной частоты (или частости).

Швейцарский ученыйЯков Бернулли привел математическое доказательство того, что при большом числе испытаний частость стремится воспроизвести вероятность и в пределе при большом числе опытов должна практически совпадать с ней. Это положение носит название закона больших чисел. Многие ученые проводили специальные опыты для проверки закона Бернулли, вычисляя частость появления событий, сводящихся, к схеме случаев, и сравнивая ее с вероятностью, вычисленной по классическому определению.

Так, французский натуралист Бюффон и английский статистик Пирсон проводили опыты с бросанием монеты (подсчитывалось число случаев выпадения “герба”). Результаты их опытов приведены в табл.1.1.

Как следует из таблицы, уже 4040 испытаний достаточно для совпадения эмпирической частости и вероятности до сотого знака, а 24 000 испытаний дают практически полное совпадение частости и вероятности. Таким образом, можно считать эмпирически подтвержденным, что частость событий, сводящихся к схеме случаев, при большом числе произведенных опытов стремится к их вероятности. Это свойство случайных событий, известное под названием устойчивости частот, можно перенести и на другие типы случайных событий, не обладающих симметрией исходов и не составляющих полную группу. Правда, подсчет теоретической вероятности для таких событий представляет известные трудности.

Таблица 1.1

Опыты	Вероятность	Частость	Число испытаний
Опыт Бюффона	0,5000	0,5069
Первый опыт Пирсона	0,5000	0,5016
Второй опыт Пирсона	0,5000	0,5005

Так возникло понятие статистической вероятности события, под которой понимается число, к которому стремится относительная частота появления события А при большом числе испытаний.

Статистическая вероятность вычисляется на основании результатов опытов по формуле:

, () (1.2)

где М — число появлений события А в N опытах.

1.4. Понятия суммы и произведения событий

Определение. Суммой двух событий А и В называют событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Иначе, событие С состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Сумма двух событий обозначается А+В или А₁ А₂ и читается А или В.

Например, если стрелок производит два выстрела из винтовки по цели и событие А – попадание при первом выстреле, событие В – попадание при втором выстреле, то сумма этих событий А+В означает попадание или при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах.

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведение двух событий обозначается АВ или и читается А и В.

В предыдущем примере произведение событий АВ означает попадание при обоих выстрелах.

Дадим геометрическую интерпретацию понятий суммы и произведения событий. Если обозначить через А попадание точки в область А, через В — попадание точки в область В, то А+В—попадание в область, заштрихованную на рис.1.а); АВ— попадание в область, заштрихованную на рис. 1.б).

а) б)

Рис. 1.Сумма (а) и произведение (б)

двух совместных событий

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если событие А состоит в том, что студент сдаст экзамены на отлично, В – на хорошо, С – на удовлетворительно. Событие А+В+С (студент сдаст экзамен) состоит в осуществлении хотя бы одного из трех событий (или А, или В, или С).

Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

На рис.2, а), б) дана геометрическая интерпретация суммы и произведения трех событий.

Рис.2. Сумма (а) и произведение (б)

трех совместных событий

1.5.Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1.3)

Пример 1.2. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается 100 вещевых и 10 денежных выигрышей. Определить вероятность денежного или вещевого выигрыша на один лотерейный билет.