Гиперболические функции определяются равенствами: - гиперболический синус (),
- гиперболический косинус (),
- гиперболический тангенс,
- гиперболический котангенс.
Свойства гиперболических функций вытекают из свойств функций и ; все формулы, справедливые при действительных значениях x, остаются справедливыми и для комплексных значений z.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как функция обратная к показательной.
Определение. Если , где , то называется логарифмом числа
z и обозначается
Перепишем равенство в виде , тогда получим, что и .
Следовательно, логарифмическая функция задается равенством:
,
Логарифмическая функция многозначна; ее ветвь, соответствующую главному значению аргумента , называют главным значением логарифмической функции и обозначают . Таким образом,
Свойства логарифмической функции:
·
·
·
· .
Обратные тригонометрические функции
Определение. Если , то называется арксинусом числа z и обозначается
Разрешая уравнение относительно , получим:
|
|
.
Аналогично можно получить выражения для других обратных тригонометрических функций; все они выражаются через логарифмическую функцию:
, , .
Пример. Найти
Решение. , но , и поэтому .
Пример. Найти: а) , б)
Решение. а) Поскольку , а главное значение аргумента у числа -1 равно , то получим: = .
б) по формуле получаем
Пример. Найти
Решение. По определению функции получаем:
Пример. Записать в алгебраической форме
Решение. , тогда имеем