Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

Задача 2.2.1 В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 2.1, известны действующие значения: тока I =2 A, входного напряжения U_вх =100 В, напряжения на катушке индуктивности U _ab=173 В и напряжения на конденсаторе U _bc=100 В.

Рисунок 2.1 – Схема электрической цепи

Требуется определить:

1) комплексные сопротивления катушки индуктивности Z _{кат .} и конденсатора Z _C;

2) построить векторную диаграмму напряжений;

3) рассчитать активную и реактивную мощности электрической цепи.

Решение.

Построим векторную диаграмму цепи, начиная с вектора тока, приняв его начальную фазу за ноль. Вектор напряжения на емкости U _bc=100 В отстает по фазе от вектора тока на 90^º. Вектор напряжения на реальной катушке индуктивности с потерями опережает вектор тока на угол φ_{кат .}, меньший, чем 90^º. Складывая векторы напряжений на емкости и катушке индуктивности, получим вектор входного напряжения. В полученном треугольнике известны все стороны – действующие значения напряжений. Определим углы треугольника (см. рисунок 2.3):

; ;

; .

Рисунок 2.3 – Векторная диаграмма

Определим значения сопротивлений:

;

; ; .

Рассчитываем мощности:

;

.

Задача 2.3.2 В цепи синусоидального тока, показанной на рисунке 2.4, дано:

Рисунок 2.4 – Схема электрической цепи

Определить, каким должно быть соотношение амплитуд и сдвиг фаз между напряжениями синусоидальных источников и , чтобы оба эти источника вырабатывали только активную мощность?

Решение.

Источники будут вырабатывать только активную мощность, если их напряжения и токи совпадут по фазе. По методу узловых потенциалов:

где .

Токи и определяются по закону Ома для участка цепи:

Учитывая, что эти токи должны совпадать по фазе, соответственно, с и , можно записать:

где a и b некоторые действительные числа.

Таким образом, требуемое условие будет выполнено, если

(2.1)

и

. (2.2)

Отсюда имеем

и .

Обозначим Тогда и после подстановки числовых значений получаем

и .

Отсюда имеем два уравнения относительно и :

Тогда

Таким образом, соотношение амплитуд должно равняться и должна опережать по фазе на 45^°.

Задача 2.2.3 В трехфазной цепи (см. рисунок 2.5), соединенной треугольником, задано линейное напряжение и сопротивления фаз , .

Требуется определить:

1) фазные и линейные токи;

2) показания ваттметров;

3) активную мощность системы при обрыве линейного провода фазы «А».

Рисунок 2.5 – Схема трехфазной цепи

Решение.

Определяем комплексные фазные напряжения и токи. По найденным фазным токам определяем линейные токи.

Фазные напряжения: .

Фазные токи: ;

;

.

Линейные токи: ;

;

.

Определяем показания ваттметров:

;

.

Строим векторную диаграмму в аварийном режиме при обрыве линейного провода фазы «А».

Рисунок 2.6 – Векторная диаграмма

Из диаграммы определяем напряжение:

Рассчитываем ток и активную мощность в фазе ab, так как только в ней есть активное сопротивление:

, .

Задача 2.2.4 В схеме, приведенной на рисунке 2.7, ЭДС , и образуют симметричный трехфазный источник напряжения прямой последовательности, а ЭДС , и – симметричный источник обратной последовательности (т.е., , ).

Рисунок 2.7 – Схема трехфазной цепи

Фазные напряжения и частота обоих источников одинаковые, но отстает по фазе от на некоторый угол α. Модули всех сопротивлений равны между собой: X _L= X _C= R.

Найдите, какое максимальное и какое минимальное линейное напряжение может быть получено на любой паре из точек A, B и C путем изменения угла сдвига фаз α, если фазное напряжение источников U _ф равно 220 В. Укажите, также, конкретные значения угла сдвига фаз α, при которых одно (любое) линейное напряжение имеет максимальное и минимальное значения.

Решение.

Общий режим цепи, получающийся в результате наложения двух симметричных режимов прямой и обратной последовательностей, конечно, будет несимметричным, т.е. при определенном значении угла сдвига фаз α модули линейных напряжений U _AB, U _BC и U _CA вообще будут различными. Однако изменением угла сдвига фаз α можно добиться того, что максимальное значение поочередно принимают все три линейные напряжения. Благодаря симметрии всех потребителей эти максимальные (а также минимальные) значения линейных напряжений будут одинаковыми. Поэтому достаточно исследовать только одно линейное напряжение.

Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Ток фазы А в сопротивлении R можно найти наложением токов, полученных для схем на рисунках 2.8 и 2.9. Допустимо также объединение этих двух схем в одну, так как вследствие симметрии потребителей нулевая последовательность отсутствует. Следовательно, введение нулевого провода допустимо как в частных симметричных режимах, так и в общем режиме.

Из этих схем, с учетом того, что X _L= X _C= R, получим

. Тогда .

Отсюда можно выразить линейное напряжение :

.

Для модуля напряжения имеем .

Далее, для строгого нахождения максимума и минимума U _AB следовало бы слагаемые представить в виде: , , , . Затем выделить в действительную и мнимую части и возведением этих частей в квадрат выразить квадрат модуля . После этого дифференцированием по α можно найти экстремальные значения. Однако все эти операции получаются сравнительно громоздкими. Поэтому можно ограничиться более простыми рассуждениями.

Представив в виде , видно, что слагаемые, заключенные в скобки, представляют собой линейные напряжения источников, значения которых не зависят от α и равны .

Таким образом, путем изменения угла сдвига фаз α можно добиться того, чтобы эти напряжения находились в противофазе или совпадали по фазе. В первом случае получим максимальное значение линейного напряжения , а во втором минимальное . Как видно из топографических диаграмм, приведенных на рисунках 2.10 и 2.11, в первом случае (см. рисунок 2.10), а во втором (см. рисунок 2.11).

Рисунок 2.10 Рисунок 2.11

В результате получим: .