Рассмотрим случай, когда кривая задана в полярных координатах уравнением
.
В этом случае в качестве параметра можно взять переменную .
Найдем параметрические выражения для координатных функций.
Связь декартовых координат с полярными задается формулами
Известно, что длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле .
Вычислим производные координатных функций
Подставим их в подкоренное выражение и упростим его
Подставляя это выражение в формулу длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, получаем формулу длины дуги, заданной
в полярных координатах
.
Пример. Пусть по внешней части колеса радиуса движется колесо меньшего радиуса . Точка, зафиксированная на ободе колеса меньшего радиуса, будет описывать линию, называемую эпициклоидой.
Если , то такая эпициклоида называется
кардиоидой. Уравнение кардиоиды в полярных координатах .
Так как кривая симметрична относительно оси OX, то можно найти длину половины кривой, расположенную выше оси OX. Формула длины дуги в полярных координатах
|
|
.
Вычислим производную и упростим подкоренное выражение
Подставляя в формулу, находим половину длины кривой
.
Тогда длина всей кардиоиды .