Пусть тело ограничено плоскостями и . Пусть каждое сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура , причем ее площадь является непрерывной функцией на отрезке . Тогда тело будет кубируемо и его объем вычисляется по формуле .
Доказательство.
Рассмотрим разбиение отрезка конечным набором точек
. Тогда , где объём части тела, заключённой между плоскостями и . В каждом частичном отрезке разбиения выберем точку . Сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура . Площадь – непрерывная функция, следовательно, если отрезок достаточно мал, то на нем изменяется мало, значит можно считать, что . Тогда объем приблизительно равен объему призмы с площадью основания и высотой .Учитывая формулу объема призмы, получаем . Тогда объем всего тела приближенно равен . Так как в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана для функции на отрезке , то при мелкости разбиения стремящейся к нулю, получаем формулу .
Пример. Найти объем эллипсоида.
Решение. Запишем уравнение эллипсоида: .
|
|
Найдем сечение эллипсоида плоскостью :
В сечении эллипсоида плоскостью получился эллипс с полуосями
и . Площадь этого эллипса равна
. Подставляя в формулу вычисления объема тела через площадь поперечных сечений, получаем
.
В частном случае, когда все полуоси эллипсоида одинаковы и равны , получаем формулу объема шара .