Объём тела вращения

Рассмотрим тело, которое получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , вокруг оси . Для вычисления его объема применим общую формулу объема тела через площадь поперечных сечений. В данном случае в сечении плоскостью получается круг радиуса . Тогда его площадь . Соответственно

– объем тела вращения вокруг оси .

Пример. Найти объём конуса радиуса и высотой .

Конус – это тело, которое можно получить вращением вокруг оси криволинейной трапеции под графиком линейной функции , где . Подставляя в формулу объема тела вращения, получаем

.

В случае вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси фигуры под графиком функции, заданной параметрическими уравнениями , формула имеет вид .

Пример. Найти объём тела, полученного вращением астроиды вокруг оси .

Параметрические уравнения астроиды

Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то можно считать только половину объема тела – это объем тела, полученного вращением части кривой, соответствующей изменению параметра

от до . Подставив в формулу вычисления объема, получим .

Сделаем в этом интеграле замену .

Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при . Отсюда:

Удваивая полученный результат, получаем окончательный ответ .