Зададим функцию f формулой
и найдем ее коэффициенты Фурье:
Другими словами, мы вычислили формальный ряд Фурье функции f:
Но для функции f, очевидно, выполняются условия теоремы из предыдущего параграфа, а значит для всех справедливо равенство
Полагая в нем ,найдем сумму замечательного числового ряда
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
|
|
f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,
где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.
(1)
Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=ao+c1sin(x+α1)+c2sin(2x+α2)+...+cnsin(nx+αn)
Где ao - константа, с 1=(a12+b12)1/2, с n=(an2+bn2)1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctg an/bn.
Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.
Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.
Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.