Среднее время пребывание заявки в системе определяется теоремой Литтла:
Для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания и при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (Tсист) в стационарном режиме равно среднему числу заявок в системе (Kсист), деленному на интенсивность потока заявок [4 ].
Отметим, что время пребывания в системе заявки, получившей отказ в обслуживании, оказывается равным нулю.
Доказательство. Пусть на вход системы массового обслуживания поступает поток заявок с интенсивностью l. Полагаем, что система функционирует в стационарном режиме достаточно длительное время T (T>>1/l).
За время T на вход системы поступает n»lT заявок, каждая из которых находится в системе время ti (i=1..n). В число n входят и заявки, получившие отказ в обслуживании. Время их пребывания в системе полагается равным нулю.
Суммарное время пребывания всех заявок в системе
.
Очевидно, что среднее число заявок в системе в течение времени T
Kсист=Tсумм/T.
Если числитель и знаменатель правой части равенства умножить на l, то
.
Но отношение Sti/n есть ни что иное, как среднее время нахождения одной заявки в системе:
.
Откуда следует так называемая формула Литтла
Tсист=Kсист/l.
При конечном числе каналов (n) и мест для ожидания (m) число заявок, которые могут находиться в системе, ограничено величиной n+m.
Поэтому с увеличением интенсивности входящего потока среднее время пребывания заявки в системе сначала растет (по мере заполнения каналов обслуживания и мест в очереди заявками), а затем вследствие возрастания вероятности отказа в обслуживании начинает уменьшаться так, что асимптотически при l®¥ Tсист ~ (n+m) /l.
Аналогичное равенство в большинстве случаев верно и для среднего времени ожидания заявки в очереди
Tож=Kож/l,
где Kож - среднее число заявок в очереди.
Отметим, что для некоторых систем это соотношение может оказаться неверным. Например, для систем с инверсным (т.е. при обслуживании, начиная с конца очереди) обслуживанием заявок.