Формула Лагранжа

Теорема 7.8. (Лагранжа).

Пусть:

1) f (x) непрерывна на [ a, b ].

2) f (x) дифференцируема в (a, b).

Тогда $ точка c Î (a, b):

f (b) - f (a) = f’ (c) (b - a). (формула Лагранжа, конечных приращений)

Доказательство.

Введем функцию F (x) = f (x) - f (a) - (x - a). Она удовлетворяет на сегменте [ a, b ] всем условиям теоремы Ролля. В частности, F (a) = F (b) = 0.

По теореме Ролля $ точка c Î (a, b): f’ (c) = 0.

f’ (c) - = 0. => f (b) - f (a) = f’ (c) (b - a).