Неопределенный интеграл

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

____________________________________________________________________

А.В. Морозова, В.И. Полтинников

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Часть 3

Интегральное исчисление

Ростов-на-Дону

Оглавление

1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ …………...…………………….……...…... 6

1.1 Первообразная функция ……………………………………………………...6

1.2 Неопределенный интеграл.………………………………………………...... 7

1.3 Основные свойства неопределенного интеграла..……………………….... 8

1.4 Таблица основных интегралов...……………………………………………. 9

1.5 Основные методы интегрирования...……………………………………… 10

1.6 Интегрирование рациональных функций ……………………………...…. 12

1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические

Функции …………………………………………………………………...… 18

1.8 Интегрирование некоторых иррациональных выражений ………………. 19

2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ………………………………………………. 20

2.1 Определение определенного интеграла ….……………………………….. 20

2.2 Основные свойства определенного интеграла …………………………… 22

2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему

пределу …………………………………………………………………...… 24

2.4 Формула Ньютона-Лейбница ……………………………………………… 25

2.5 Замена переменной в определенном интеграле ………………………….. 26

2.6 Интегрирование по частям в определенном интеграле ……………….…. 27

3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …..……………………………………….. 28

3.1 Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)....... 28

3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций).... 29

3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов ………………………. 30

3.4 Абсолютная и условная сходимости …………………………………….... 32

4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………... 32

4.1 Общие понятия ……………………………..……………………………… 32

4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка ………………………... 33

4.3 Уравнение с разделяющимися переменными ……………………………. 36

4.4 Однородное уравнение ………………………..…………………………... 37

4.5 Линейное уравнение ……………………………………………………….. 38

4.6 Уравнение Бернулли ………………………………………………………. 39

4.7 Дифференциальные уравнения высшего порядка ……………………….. 40

4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка ……… 43

4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка …………… 45

4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение

высшего порядка с постоянными коэффициентами …………………… 46

4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

высшего порядка с постоянными коэффициентами ………………….... 49

5 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ … 55

5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений ………………….... 55

5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения

неизвестных ……………………………………………………………….. 56

5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами ………………………………………… 58

5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову …... 61

6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………………………………….... 62

6.1 Двойной интеграл ………………………………………………………….. 62

6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах …………... 65

6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах …………...... 67

6.4 Тройной интеграл ………………………………………………………….. 68

6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70

6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах................................................................................................... 72

7 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................... 74

7.1 Криволинейный интеграл первого рода...................................................... 74

7.2 Криволинейный интеграл второго рода...................................................... 77

7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода..... 80

7.4 Формула Грина.............................................................................................. 81

8 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................... 81

8.1 Поверхностный интеграл первого рода...................................................... 81

8.2 Поверхностный интеграл второго рода....................................................... 85

8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода...... 88

8.4 Формула Остроградского............................................................................. 88

8.5 Формула Стокса............................................................................................. 89

9 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ............................................................................. 90

9.1 Неопределенные интегралы......................................................................... 90

Задание 1 (найти интегралы методами непосредственного интегрирования

и замены переменной)................................................................ 90

Задание 2 (найти интегралы методом интегрирования по частям).......... 97

Задание 3 (найти интегралы от рациональных дробей)........................... 100

Задание 4 (найти интегралы от иррациональных функций).................... 103

Задание 5 (найти интегралы от тригонометрических функций)............. 106

Задание 6 (найти неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования)...........................................................110

Задание 7 (вычислить определенные интегралы, используя различные методы интегрирования).......................................................... 116

Задание 8 (исследовать на сходимость несобственные интегралы)....... 120

Задание 9 (вычислить двойные интегралы).............................................. 124

Задание 10 (вычислить тройные интегралы)............................................ 125

9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка........... 127

Задание 11 (найти решение задачи Коши для уравнения с разделяющимися переменными)........................................... 127

Задание 12 (найти решение задачи Коши для однородного уравнения).. 128

Задание 13 (найти решение задачи Коши для линейного уравнения)... 130

Задание 14 (найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли)..... 131

9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка......... 132

Задание 15 (найти решение задачи Коши для уравнения вида ).. 132

Задание 16 (найти общее решение для уравнения вида )............................................................. 134

Задание 17 (найти решение задачи Коши для уравнения вида ).................................................................... 134

Задание 18 (найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами)................................................... 136

Задание 19 (найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами)............................. 136

Библиографический список …………………………………………………….. 138

Неопределенный интеграл