Решение уравнений с использованием данного свойства основывается на следующих утверждениях.
1. Если функция f возрастает или убывает на промежутке Х, то уравнение f(x) = a, где a — некоторое действительное число, может иметь не более одного корня на этом промежутке.
Пример. Решить уравнение.
.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = , где D(f) = [0,2; +∞).
Покажем, что функция f(x) является возрастающей
x | [0.2; +∞) |
5 x -1 | |
x+7 | |
f(x) |
Поскольку функция f(x) — возрастающая, то уравнение f(x)=4 может иметь не более одного корня.
Легко заметить, что число 1 является конем данного уравнения.
Ответ: 1.
2. Если одна из функций y = f(x), y = g(x) возрастает, а другая убывает на числовом промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f(x) = g(x) либо имеет только один корень (рис. а), либо вообще не имеет корней (рис. б).
Пример. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
Функция является возрастающей, а функция — убывающей. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.
|
|
Легко угадать (подобрать), что x = 2.
Ответ: 2.