МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ
С.В.Дёминова
Студента (ки) группы____________
ФИО______________________________
ОРЕЛ - 2013
Тема 1: Парная регрессия и корреляция
Задача 1.
Фирма провела рекламную кампанию. Через 10 недель фирма решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив недельные объёмы продаж с расходами на рекламу:
Номер региона | Недельные объёмы продаж, тыс. руб. | Расходы на рекламу, тыс. руб. |
Задание:
1. Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции
3. Рассчитайте коэффициент детерминации.
4. Определите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
6. С вероятностью 0,95 оцените доверительный интервал ожидаемой величины недельного объёма продаж компании с уровнем расходов на рекламу в 13 тыс. руб.
|
|
Решение:
1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:
№п/п | , (Аi%) | |||||||||
Итого |
Рассчитаем промежуточные показатели:
Рассчитаем параметры уравнения:
Получено следующее уравнение регрессии:
Коэффициент регрессии показывает, что
2. Тесноту линейной связи оценивает коэффициент корреляции. Для его определения рассчитаем следующие показатели:
Дисперсию факторного признака :
Среднее квадратическое отклонение факторного признака
Дисперсию результативного признака
Среднее квадратическое отклонение результативного признака y
Далее рассчитаем коэффициент корреляции:
Так как rxy
3. Определим коэффициент детерминации:
D =
Он показывает, что вариация результативного признака на ….% зависит от вариации факторного признака
4. Качество модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:
|
|
5. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-критерия Стьюдента.
Определим остаточную дисперсию:
Определим случайные ошибки параметров уравнения и коэффициента корреляции:
Определим расчетные значения t-критерия Стьюдента.
tтабл. при заданных степенях свободы df = n-2 = 10 – 2 = 8 и уровне значимости 5% (уровень надёжности 0,95 (95%)) составляет 2,306.
Сравним расчетные значения t-критерия Стьюдента с табличным:
6. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют его использовать для прогнозирования. Предполагаемые расходы на рекламу на следующую неделю составят 13 тыс. руб., то есть = 13 тыс. руб.
Тогда прогнозное значение недельных объёмов продаж составит:
Ошибка прогноза составит:
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% не будет превышена, составит следующую величину:
Построим доверительный интервал прогноза:
Выполненный прогноз показывает, что при уровне расходов на рекламу в 13 тыс. руб., недельный объём продаж фирмы будет находиться в пределах от …….. тыс. руб. до ……………. тыс. руб.
Задача 2. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть и индексом нефтяных компаний получены следующие данные:
=16,2 (ден. ед.), =4000 (усл. ед.), ( - * ) = 40, =4, =500.
Задание:
1) составьте уравнение регрессии;
2) используя полученное уравнение регрессии, найдите среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.
Решение:
Задача 3. Имеются следующие данные по семи территориям Уральского района
Район | Расходы на покупку продовольственных товаров, % | Среднедневная заработная плата одного рабочего, у.е. |
Удмуртия | 68,8 | 45,1 |
Свердловская обл. | 61,2 | |
Башкортостан | 59,9 | 57,2 |
Челябинская обл. | 56,7 | 61,8 |
Пермская обл. | 58,8 | |
Курганская обл. | 54,3 | 47,2 |
Оренбургская обл. | 49,3 | 55,2 |
Задание:
1) для характеристики зависимости определите параметры функции равносторонней гиперболы
2) оцените полученную модель через среднюю ошибку аппроксимации и - критерий Фишера.
Решение:
1)уравнение равносторонней гиперболы
приводится к линейному виду при замене , тогда получим следующее уравнение:
В соответствии с методом наименьших квадратов, параметры уравнения определяются по следующим формулам:
№ | zy | , (Аi%) | |||||||
1)
Определим дисперсию
Определим параметры уравнения
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
2) Определим среднюю ошибку аппроксимации
Оценим тесноту связи с помощью индекса корреляции
Оценим статистическую значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера:
факт
табл. при заданных степенях свободы и уровне значимости составляет 6,61.
Таким образом,
Задача 4. Зависимость среднемесячной производительности труда о возраста рабочих характеризуется моделью: . Ее использование привело к следующим результатам:
№ п/п | Производительность труда рабочих, тыс.руб. | № п/п | Производительность труда рабочих, тыс.руб., | ||
фактическая | расчетная | фактическая | расчетная | ||
Задание: Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.
Решение: построим расчетную таблицу:
|
|
№ п/п | ||
факт
табл.=5,32
Задача 5. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов:
Признак - фактор | Уравнение парной регрессии | Среднее значение фактора |
Объем производства млн.руб., х1 | ||
Трудоемкость единицы продукции, чел.-час., х2 | ||
Задание: Определите с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.
Решение:
Для уравнения равносторонней гиперболы :
Для уравнения прямой :
Задача 5. По территории центрального района известны следующие данные
Район | Доля денежных доходов, направленных на сбережения, % | Среднемесячная заработная плата, у.е. |
Брянская обл. | 6,9 | |
Владимирская обл. | 8,7 | |
Ивановская обл. | 3,4 | |
Калужская обл. | 8,4 | |
Костромская обл. | 6,1 | |
Орловская обл. | 9,4 | |
Рязанская обл. | 11,0 | |
Смоленская обл. | 6,4 | |
Тверская обл. | 9,3 | |
Тульская обл. | 8,2 | |
Ярославская обл. | 8,6 |
Задание:
1. Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции
3. Рассчитайте коэффициент детерминации.
4. Определите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции (tтабл.)=2,26.
6. С вероятностью 0,95 оцените доверительный интервал ожидаемой доли денежных доходов, направленных на сбережения с уровнем среднемесячной заработной платы в 392 у.е.