Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины М(Х) называется число, равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности их появления:
М(Х) = x1 ∙ p1 + x1 ∙ p1 + … + xn ∙ pn
Математическое ожидание обладает следующимисвойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(С) = С.
2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых (то же относится к разности):
М(Х ± У) = М(Х) ± М(У).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(Х∙У)=M(Х) ∙ M(У).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(С∙Х)=С∙М(Х).
Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(Х)=M[Х–M(Х)]².
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
|
|
D(Х)=M(Х²)–[M(Х)]².
Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, следовательно, 2∙М(Х) и М²(Х) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:
D(X) = M[X–M(X)]² = M[X² – 2∙X∙M(X)+M²(X)] = M(X²)–2∙M(X)∙M(X)+M²(X) =
=M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X).
Итак,
D(X) = M(X²) – [M(X)]².
Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.
Свойства дисперсии:
- Дисперсия постоянной равна нулю:
D(C) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(C∙X)=C² ∙ D(X).
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:
D(X + С) = D(X).
Пример1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х | –5 | |||
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение. Найдем математическое ожидание Х:
М(Х) = –5 ∙ 0,4 + 2 ∙ 0,3 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,2 = – 0,3.
Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако воспользуемся формулой:
D(X) = M(X²) – [M(X)]²,
которая быстрее ведет к цели.
Напишем закон распределения Х²:
|
|
Х | ||||
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдем математическое ожидание Х²:
М(Х²) = 25 ∙ 0,4+4 ∙ 0,3+9 ∙ 0,1+16 ∙ 0,2 = 15,3.
Найдем искомую дисперсию:
D(X) = M(X²) – [M(X)]² = 15,3 – (–0,3)² = 15,21.
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
σ(Х) = =3,9.
Определение. Дискретная случайная величина Х, вероятности значений которой находятся по формуле Бернулли, называется распределённой по биномиальному закону. В таком случае говорят, что Х имеет биномиальное распределение.
Теорема.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределённой по биномиальному закону, вычисляются по формулам:
М(Х) = n∙p, D(X) = n∙p∙q, s(X) = ,
где n – число испытаний;
р – вероятность появления события
q – вероятность непоявления события.