Краткая теория. Процесс изменения энергии тела под действием силы называется процессом совершения работы, а приращение энергии тела в этом процессе называется работой

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Процесс изменения энергии тела под действием силы называется процессом совершения работы, а приращение энергии тела в этом процессе называется работой, совершенной силой. Эксперимент показывает, что сила, приложенная к телу, совершает работу только в том случае, если тело при этом перемещается. При прямолинейном поступательном движении тела (рис. 5.1) работа А, совершаемая постоянной силой ,тем больше, чем больше составляющая силы , касательная к траектории, и чем больше путь s, пройденный телом за время действия силы:

А = F_t s = F s cosa,

(5.1)

где a - угол между векторами силы F и перемещением (скоростью )

Рис. 5.1. Работа при прямолинейном поступательном движении тела

Всякое достаточно малое (элементарное) перемещение материальной, точки или поступательно движущегося тела можно считать прямолинейным. Поэтому элементарная работа dА, совершаемая силой при малом перемещении ds точки ее приложения, равна:

dА = F_tds = F cosa ds

(5.1^¢)

Работа, совершаемая силой на конечном пути s, равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути; эта сумма приводится к интегралу:

(5.2)

Из уравнения (5.1^¢) видно, что сила, действующая на тело, не совершает работы, если:

а) тело покоится (ds = 0);

б) сила перпендикулярна к направлению перемещения тела (a = 90⁰; F_t = 0).

Если тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона a к вертикали (l cosa = H), то работа сил тяготения равна:

A = P l cosa = mgH,

(5.3)

Полная работа А при при конечной деформации х равна приращению потенциальной энергии тела и определяется по формуле:

(5.4)

Мощностью N силы называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой этой силой за единицу времени:

(5.5)

Подставляя в эту формулу выражение (5.1^¢) для элементарной работы, можно получить:

(5.6)

где - скорость движения тела. Следовательно, мощность (или мгновенная мощность) силы равна произведению численных значений касательной составляющей силы и скорости движения, т. е. скалярному произведению векторов силы и скорости.

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Кинетическая энергия поступательного движения тела:

(5.7)

где m – масса тела; υ - скорость центра инерции тела.

Кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции:

(5.8)

где J – момент инерции тела; ω – угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

(5.9)

Консервативными называют силы: 1) работа которых не зависит от пути по которому движется частица, 2) работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Пример консервативной силы – сила тяжести, сила упругости, неконсервативной – сила трения. Работа консервативных сил на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

А = - (U₂ – U₁).

(5.10)

Если на систему материальных точек или тел действует консервативные силы, то можно ввести понятие о потенциальной энергии этой системы. Потенциальной энергией системы называется энергия, обусловленная взаимным расположением тел, действующих друг на друга. Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

А = Т₂ – Т₁.

(5.11)

Полная механическая энергия частицы в поле:

E = T + U

(5.12)

Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной

E = const.

(5.13)

Приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно работе неконсервативных (сторонних) сил, действующих на частицу на том же пути:

А_ст= Е₂ – Е₁

(5.14)

Работа сил трения. Если сила трения между движущимся телом и телами, неподвижными относительно системы отсчета, постоянна, то работа, совершаемая ею на пути s, равна А_ТР = - F_ТРs, или

А_ТР = -f ^‘F_N s,

(5.15)

где F_N - сила нормального давления движущегося тела на неподвижное тело,

f^΄ - коэффициент трения.

В рассматриваемом случае сила трения, действующая на движущее тело, направлена в сторону, противоположную его движению. Ее работа отрицательна, и поэтому на замкнутом пути не равна нулю. Работа силы трения тем больше, чем длиннее путь, на котором эта сила действует, то есть работа силы трения зависит от формы пути. Следовательно, сила трения – неконсервативная.

Коэффициент полезного действия. Работу двигателя по преодолению полезных сопротивлений, например преодолению сопротивления металла при сверлении или силы тяжести при подъеме груза, называют полезной. На преодоление трения между частями машины также затрачивается работа, которую называют вредной. Очевидно, что полезная работа любой машины всегда меньше ее полной работы. Поэтому для характеристики машины вводят коэффициент полезного действия (к.п.д.).

Коэффициентом полезного действия машины называют отношение полезной работы (А_П)ко всей затраченной работе (А):

(5.16)

Коэффициент полезного действия обычно выражается в процентах.

Система называется закрытой (замкнутой), если на нее не действуют внешние силы. Силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе, называются внешними. В соответствии с основным уравнением динамики поступательного движения - геометрическая сумма внешних сил действующих на систему) импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, то есть не меняется со временем

(5.17)

При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут изменяться со временем. Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю.

Закон сохранения проекций импульса на оси декартовой системы координат:

p_x= const, p_y = const, p_z = const.

(5.18)

ассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию; после удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело) либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается – механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю. Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

(где - суммарный момент внешних сил, действующих на систему) момент импульса системы может изменяться под действием только суммарного момента всех внешних сил.