Задача 5.1. Тело массой т = 1 кг скользит сначала по наклонной плоскости высотой h = 1 м и длиной склона l = 10 м, а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения на всем пути k = 0,05. Найти: а) кинетическую энергию T тела у основания плоскости; б) скорость v тела у основания плоскости; в) расстояние s, пройденное телом по горизонтальной поверхности до остановки.
Дано: т = 1 кг h = 1 м l = 10 м k = 0,05 | Решение: Рисунок к задаче 5.1. |
Найти: T -? n -? s -? |
2.Два состояния: 1- верхняя точка (до события); 2 - у основания плоскости (после события).
3.За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начало склона.
4.В верхней точке: У основания плоскости:
Т = 0;
U = mgh.
5. Согласно уравнению (5.14): DЕ = A, где А — работа неконсервативных сил.
, где АТР — работа сил трения.
Имеем
то есть потенциальная энергия тела при соскальзывании с наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию и в работу против сил трения. Но h = l×sina, имеем sina = h/l = 0,1, а cosa = 0,99, FТР = kmg× cosa, где a - угол наклона плоскости.
|
|
а)
в) Кинетическая энергия, которую тело имеет у основания наклонной плоскости, переходит в работу против силы трения на горизонтальной поверхности, то есть Т = k×m×g×s, то
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ: 4,9 Дж; 3,1 м/с; 10 м.
Задача 5.2. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений?
Дано: Н = 5 делений | Решение: 1. Рисунок к задаче 5.2. |
Найти: х -? |
2. Согласно уравнению (5.3): U1 = mgH.
3. Согласно уравнению (5.4):
4. По закону сохранения энергии (5.13): U1 = U2 .
Следовательно,
После установления равновесия: где согласно уравнению (3.3): FУПР = -кх.
В проекциях на ось у: mg + kx = 0, тогда
5. Решая совместно систему уравнений:
Получаем: х = 2Н.
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ: 10 делений.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА»
Задача 5.3. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой m2 = 8 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были J1 = 3 м/с и J2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорость тел после удара?
Дано: m1 = 2 кг m2 = 8 кг = 3 м/с = 1 м/с | Решение: 1. До взаимодействия: Рисунок к задаче 5.3. |
Найти: u -? |
2.
|
После взаимодействия:
х
Рисунок к задаче 5.3.
3. Введем систему координат: ОХ – горизонтально вправо; ОУ – вертикально вверх.
4. До взаимодействия: После взаимодействия:
ОХ:: p1х = m1J1; ОХ: p¢ 1х = m1u;
р2х = -m2J2 ; p¢2x = m2u;
|
|
р = р1х + р2х = m1J1 - m2J2 p¢ = p¢ 1х + p¢2x = (m1 + m2 )u
5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.
6.Согласно уравнению (5.17), имеем: m1J1 - mJ2 = (m1 + m2)u
7.Решая последнее уравнение относительно u, получаем:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
1) вычисления:
Знак «-» указывает, что шары стали двигаться в направлении, противоположном направлению.
Ответ: 0,2 м/с.
Задача 5.4. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой m2 = 8 кг и упруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были J1 = 3 м/с и J2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости тел u1 и u2 после удара?
Дано: m1 = 2 кг m2 = 8 кг = 3 м/с = 1 м/с | Решение:
1. До взаимодействия:
m1 m2
Рисунок к задаче 5.4.
| |||
Найти: u1 -? u2 -? |
2. После взаимодействия:
Рисунок к задаче 5.4.
3. Введем систему координат: ОХ – горизонтально вправо.
4. До взаимодействия: После взаимодействия:
ОХ: p1х = m1υ1 ОХ: p¢ 1х = m1u1;
р2х = m2 υ2 ; p¢2x = m2u2;
р = р1х + р2х = m1 υ1 + m2 υ2 p¢ = p¢ 1х + p¢2x = m1u1 + m2u2
5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.
6.Согласно уравнению (5.17), имеем: m1 υ1+ m υ2 = m1u1 + m2u2
7. Согласно уравнению (5.14), имеем:
8. Решая совместно систему уравнений относительно u1 и u2:
Получаем:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
1) вычисления:
Знак «-» указывает, что первый шар стал двигаться в направлении, противоположном направлению движения первого шара.
Ответ: u1 = -0,2 м/с; u2 = 1,8 м/с.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА»
Задача 5.5. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.
Дано: m0 = 60 кг m = 100 кг n1 = 10 об/мин | Решение: 1. Рисунок к задаче 6.5. |
Найти: n2 -? |
2.Система «человек – платформа» замкнута в проекции на ось у, так как моменты сил Mmg = 0 и Mm0g = 0 в проекции на эту ось.
3. Согласно уравнению (5.19):
В проекции на ось у: L1y = J1w1; L1y = J2w2, где J1 – момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J2 – момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w1 и w2 – угловые скорости платформы в обоих случаях.
Тогда: , где R – радиус платформы.
4. Решая совместно систему уравнений относительно n2:
Получаем:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
1) вычисления:
Ответ: 22 об/мин.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. Автомобиль массой m = 2тдвижется в гору с уклоном 4 мна каждые 100 м пути. Коэффициент трения к = 0,08. Найти работу А, совершаемую двигателем автомобиля на пути s = 3 км был пройден за время t = 4 м ин. (Ответ: А = 7 МДж; N = 29,2 кВт).
5.2. Граната, летящая со скоростью υ = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u1 = 25 м/с. Найти скорость u2 меньшего осколка.
(Ответ: u2 = 12,5 м/с).
5.3. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка, если масса человека m1 = 60 кг, масса лодки m2 = 120 кг, длина лодки l = 3 м? Сопротивление воды не учитывать.
(Ответ: s = 1 м).
5.4. Горизонтальная платформа массой т = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n1 = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой n2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 2,94 до J2 = 0,98 кг×м2? Считать платформу однородным диском. (Ответ: n2 = 21 об/мин)
|
|
5.5. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой от m = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.
(Ответ: υ = 1,1 м/с; n = 0,49 об/мин).
5.6. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l = 1 м. Найти скорость υ пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a = 10°.
(Ответ: υ» 550 м/с).
5.7. К нижнему концу пружины, подвешенной вертикально, присоединена другая пружина, к концу которой прикреплен груз. Жесткости пружин равны k1 и k2.. Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза, найти отношение U1/U2потенциальных энергий этих пружин.
(Ответ: U1/U2 = k2 / k1).
Рисунок к задаче 5.7
5.8. На двух параллельных пружинах одинаковой длины весит невесомый стержень длиной L = 10 см. Жесткости пружин k1 = 2 Н/м и k2 = 3 Н/м. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?
(Ответ: l1 = 6 см; l2 = 4 см).
Рисунок к задаче 5.8.
5.9. Частица массы m1 налетает со скоростью J1 на покоящуюся частицу, масса которой m2 = 3m1. Происходит абсолютно упругое соударение, после которого частица m2 движется под углом q = 45° к первоначальному направлению движения частицы m1 (см. рисунок). Требуется найти q1 — угол отклонения первой частицы и величины скоростей u1 и u2.
(Ответ: q1 = 71030, ¢ u1 =)
Рисунок к задаче 5.9.
5.10. Спутник Земли весом 10 кг со средним поперечным сечением 0,50 м2 движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул измеряется многими метрами и плотность воздуха равна 1,6 × 10-10 кг/м3. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему сил? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.) (Ответ: Fторм» 0,5× 10-2 Н).
|
|