Различают два режима работы цепи: установившийся (стационарный) и неустановившийся (переходный, нестационарный). Установившимся называют такой режим, при котором токи, нанапряжения и э. д. с. в цепи являются или постоянными, или периодическими функциями времени. В предыдущих разделах рассматривался только этот режим.
Неустановившимся режимом или переходным процессом в электрической цепи называют электромагнитный процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот процесс возникает в электрических цепях при подключении к ним или отключении от них источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов.
Указанные выше операции в цепях называют коммутацией. На схемах цепей коммутацию обычно обозначают в виде ключа со стрелкой (рис. 13.1,а — замыкание, рис. 13.1,6 — размыкание). Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно малого промежутка времени, т. е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета времени, т. е. считают, что в момент коммутации t=0. При этом момент времени, предшествующий непосредственно моменту коммутации, обозначают t=0-, а момент времени, следующий непосредственно за моментом коммутации, обозначают t=0+.
|
|
В цепях, не содержащих энергоемких элементов (индуктивностей и емкостей), новый установившийся режим, т. е. режим, при котором токи и напряжения являются либо постоянными, либо периодическими функциями времени, наступает непосредственно
за моментом коммутации. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.
В цепях с энергоемкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергии электрических полей конденсаторов и магнитных полей индуктивных катушек вследствие закона непрерывности энергии во времени не могут изменяться скачком.
При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются.непосредственно по законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотношения между токами и напряжениями в элементах цепи:
В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная и исключением других переменных из системы уравнений получают одно уравнение, содержащее только основную переменную. В общем случае для линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, содержащих элементы r, L и С, это уравнение является интегро-дифференциальным. Путем повторного дифференцирования этого уравнения можно получить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем случае вид
|
|
где ak и bk — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов;
x(t) —выходная величина (ток или напряжение);
ƒ(t)—внешнее воздействие на цепь (источник э.д. с. или
тока).
Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и τ, д. Решение уравнения (13.2) ищется в виде
. (-3.3)
где — свободная составляющая — общее решение однородного дифференциального уравнения
т. е. уравнения (13.2) без правой части;
—принужденная составляющая — частное решение уравнения (13.2) с правой частью.
Свободная составляющая — это свободные электрические токи или напряжения. Они характеризуют процесс рассеивания или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С и равны разности переходных и установившихся токов или напряжений.
Принужденная составляющая характеризует процесс, возникающий в цепи под воздействием внешнего возмущения после окончания переходных процессов. Это установившиеся, т. е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые устанавливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических э. д. с. или токов.
Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
где рk — корни характеристического уравнения
Ak — постоянные интегрирования.
Корни характеристических уравнений pk у пассивных электрических цепей всегда либо вещественные отрицательные, либо комплексные с отрицательной вещественной частью. Физически это объясняется тем, что свободный процесс происходит за счет энергии, накопленной в элементах L или С. С течением времени эта энергия расходуется на необратимые потери (выделяется в виде тепла в активных сопротивлениях), а величина
Постоянные интегрирования Ak определяют из начальных условий — значений токов и напряжений в цепи в момент времени t =0+. т. е. в момент времени, следующий непосредственно за моментом коммутации.
Для определения начальных условий используют два закона коммутации:
4 и , (13.7)
т. е. ток в индуктивности непосредственно после коммутации равен току в этой же индуктивности непосредственно перед коммутацией , а напряжение на емкости непосред-
ственно после коммутации равно напряжению на этой же емкости непосредственно перед коммутацией .
Невозможность скачков токов в индуктивностях L и напряжений на емкостях С при коммутации следует из закона непрерывности энергии, который утверждает, что энергия во времени не может изменяться скачком.
Начальные условия в электрических цепях могут быть нулевыми или ненулевыми. Нулевые начальные условия будут в том случае, если в момент коммутации и . При этом в момент времени, следующий непосредственно за моментом коммутации, ток в индуктивности L и напряжение на емкости С будут продолжать оставаться равными нулю, т. е. в момент коммутации индуктивность L равносильна разрыву цепи, а емкость С эквивалентна короткому замыканию.
Если в момент коммутации по индуктивности L протекал ток , а на емкости С было напряжение , то в цепи имеют место ненулевые начальные условия.
Следует отметить, что напряжение на индуктивности L и ток через емкость С в момент коммутации могут изменяться скачком, так как они не характеризуют энергию, запасенную в элементах L и С.
В последующих подразделах рассмотрим примеры анализа переходных процессов в электрических цепях, имеющие как самостоятельное значение, так и иллюстрирующие сущность классического метода.
|
|