Пример 19.3

Произвести оценку устойчивости электрической цепи, если ее характеристи­ческое уравнение имеет вид

.

Решение.

Определитель Гурвица для данного уравнения имеет вид

откуда

Так как определитель Гурвица и все его главные миноры положительны, то все корни характеристического уравнения цепи лежат в левой полуплоскости. Следовательно, электрическая Цепь является устойчивой.

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости цепи по виду ее частотных характеристик с замкнутой петлей обратной связи (критерий Михайлова, предложенный советским ученым А. В. Михайловым в 1938 г.) или по виду ее частотных характери­стик с разомкнутой петлей обратной связи (критерий Найквста — Михайлова).

В основе критерия Михайлова лежит рассмотренное в под-разд. 18.5 свойство аргумента комплекса характеристического полинома. Применительно к электрическим цепям этот критерий можно сформулировать следующим образом: для устойчивости электрической цепи необходимо и достаточно, чтобы вектор комп­лекса характеристического полинома при изменении частоты от

нуля до бесконечности повернулся в положительном направлении, начиная с положительной вещественной оси, на число квадрантов, равное порядку, характеристического уравнения цепи.

В качестве примера на рис. 19.14 и 19.15 приведены годографы векторов комплексов характеристических полиномов устойчивой и неустойчивой электрических цепей при п=4.

Для суждения об устойчивости цепи не обязательно вычисле­ние всего годографа вектора комплекса характеристического по­линома, а достаточно, как показано в подразд, 18.5, установить факт чередуемости нулей его вещественной и мнимой частей.

Критерий Найквиста — Михайлова рассмотрен, например, в [9]. Там же более подробно рассмотрены и другие критерии устойчивости.