Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x 1, из второго уравнения системы выразим x 2, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:
, i, j = 1, 2,... n.
Компоненты вектора d вычисляются по формулам:
, i = 1, 2,... n.
Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:
,
или в покоординатной форме записи выглядит так:
, i = 1, 2,... m.
Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:
, где .
Если , то можно применять более простой критерий: окончания итераций
ПРИМЕР 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.
Пусть дана система уравнений:
Требуется найти решение системы с точностью
Приведем систему к виду удобному для итерации: .
Выберем начальное приближение, например, - вектор правой части.
Тогда первая итерация получается так:
Аналогично получаются следующие приближения к решению.
|
|
, ,
Найдем норму матрицы . Будем использовать норму .
Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то = 0.2 < 1/2, поэтому критерий окончания итераций в этой задаче .
Вычислим нормы разностей векторов: , .
Так как , заданная точность достигнута на четвертой итерации.
О твет: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.101