Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x - (A x - b), - итерационный параметр.
Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид: x (n+1) = x n - (A x n - b).
Здесь B = E - A и параметр > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину .
Пусть и - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра . В этом случае принимает минимальное значение равное .
ПРИМЕР 3. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации.
% Решить систему Ax=b методом простой итерации.
A = [3 -2 0; -2 3 0; 0 0 3];
b = [-21;24;15];
e = eig(A);
% Вычислим итерационный параметр
tau = 2 / (min(e) + max(e));
r = 1;
% Выполняем метод простой итерации с начальным приближением x0
x0 = [0;0;0];
y = x0;
while r > 100 * eps
x = y - tau * (A * y - b);
r = norm(x-y);
y = x;
end
% Проверим полученное значение
A * x – b
>>
ans =
1.0e-013 *
-0.2842 | |
0.2487 | |