Решение. Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом коэффициентов прямых материальных затрат будем иметь следующую модель МОБ (в

Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом коэффициентов прямых материальных затрат будем иметь следующую модель МОБ (в развернутой форме):

Х₁ = 0,1Х₁ + 0,3Х₂ + 0,2Х₃ + 36 0,9 Х₁ - 0,3Х₂ - 0,2Х₃ = 36

Х₂= 0,2Х₁ + 0,2Х₂ + 0,3Х₃ + 11 или - 0,2Х₁ + 0,8Х₂ - 0,3Х₃ = 11

Х₃= 0,1Х₁ + 0,1Х₂ + 0,4Х₃ + 8 - 0,1Х₁ - 0,1Х₂ + 0,6Х₃ = 8

Откуда, например, методом Жордана-Гаусса определяем валовую продукцию по отраслям (студентам необходимо уметь решать системы уравнений в Excel):

Х₁ = 60, Х₂= 40, Х₃= 30.

Распределение продукции между отраслями на внутреннее потребление (межотраслевые потоки Х_i _j) определяем из соотношения:

Х_i _j = а_i _j Х_j, т.е. Х₁₁= 0,1*60 = 6; Х₁₂=0,3*40 = 12 и т.д.

В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции межотраслевого комплекса - будет иметь следующий вид:

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Производящие	Потребляющие структуры	Конечный	Валовой
структуры				продукт	продукт



Условно чистая					-
продукция
Валовой продукт				-

При построении матричных моделей широко используется понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (технологической матрицы).

Матрица А называется продуктивной, если найдутся неотрицательные векторы X, Y для которых выполняется основное уравнение межотраслевого баланса X = AX +Y.

Продуктивность матрицы А ³0 является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений X = AX +Y при любом неотрицательном векторе Y³0.

Укажем некоторые способы определения (оценки) продуктивности матрицы А (признаки продуктивности). Для того, чтобы матрица А была продуктивной необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1. Матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

2. Положительны все главные миноры матрицы (E-A).

3. Матричный ряд E+A+A²+…= å A^k сходится, причем å A^k=(E-А)^-1.

4. Максимальное собственное число матрицы А меньше единицы - l(А)<1 (собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения ç A-lE ç=0).

Пример. Оценить продуктивность матрицы

А =

Решение. Оценку произведем по второму и четвертому признакам.

1) Рассмотрим матрицу-разность (E-A) =

Определим ее главные миноры: D₁=0,6>0; D₂=0,54-0,06=0,48>0. Таким образом, матрица А - продуктивна.

2) Рассмотрим характеристическое уравнение ç A-lE ç=0:

A-lE = - l = ;

ç A-lE ç= (0,4-l)(0,1-l) - 0,06 = l²- 0,5l - 0,02 = 0;

Таким образом,

следовательно матрица А - продуктивна.

Пример. Оценить продуктивность матрицы

А = .

Решение. Оценку произведем по первому и второму признакам.

Рассмотрим матрицу-разность:

(E-A) =

1) С помощью функции =МОБР Мастера функций Excel найдем обратную матрицу:

B=(E-A)^-1 =

Все элементы этой матрицы неотрицательны, следовательно, матрица А - продуктивна.

2) Определим главные миноры матрицы (E-A): D₁=0,7>0; D₂=0,33>0 и (с помощью функции =МОПРЕД Мастера функций Excel) D₃= 0,196>0. Все главные миноры матрицы (E-A) положительны, значит матрица А - продуктивна.

Рассмотрим предприятие, у которого в каждом цехе производится только один вид продукции в объеме X_i (i=1,..,n). Отдельный вид продукции может быть использован как промежуточный продукт, идущий на внутреннее потребление (передаваемый другим цехам), и как конечный продукт, поступающий непосредственно потребителю.

Обозначим через Х_ij - количество продукции i -го вида, потребляемое для изготовления j -й продукции в количестве X_j; через Y_i – объем выпуска конечной продукции i -го вида.

Общий (валовой) выпуск продукции i-го вида (потребность в ее производстве) равен сумме промежуточного и конечного продукта:

Обозначим через a_ij= Х_ij/ Х_j - норму расхода продукции i -го вида на производство продукции j -го вида, т.е. в принятой интерпретации это коэффициент прямых материальных затрат. Тогда

Эта система балансовых уравнений в матричной форме имеет вид:

X=AX+Y, где A = (а_i _j)_n_*_n; X, Y- матрицы-столбцы.

(запись в матричной форме).

Используя приведенное матричное уравнение можно найти:

1) Общий выпуск продукции путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат B=(E-A)^-1 на вектор конечной продукции:

X=(E-A)^-1Y= BY.

2). Распределение продукции между цехами путем умножения коэффициентов прямых затрат на общий выпуск:

Х_ij= a_ij Хj

Матрица А называется продуктивной, если найдутся неотрицательные векторы X, Y для которых выполняется матричное уравнение X = AX +Y.

1.Матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

2.Положительны все главные миноры матрицы (E-A).

Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй - продукцию второго вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, а остальная - является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат (нормы расхода) и обьемов конечной продукции:

А = , Y =