Годовая продукт». тыс т

У

1400-1300-1200-1100-1000-900 -800-700

ii

Число лет с 19X0

Рис. 8.23. Диаграмма общего объема производства

Гл. 8. Линейная регрессия

Рисунок показывает, что между у и х существует некая связь, но она может быть криволинейной.

2. Трансформируем для начала значения объема производства в логарифми­ческой форме.

Таблица 8.12. Логарифмы значений объема производства

Год	Значение логарифма
	Y = log (у)
19X0	2,869
19X1	2,905
19X2	2,944
19X3	2,983
19X4	3,018
19X5	3,056
19X6	3,094
19X7	3,133

Линейная связь между log (у) и х четко видна из диаграммы. Нелинейная же связь между у и х должна быть трансформирована в:

Y = log (у) = А + Вх,

где: Y = log (у).

ЬвМ

3.16

3,12

3,08-

3,04

3,00

2,96

2,92

2,88

2.84

2,80

т

1 2 3 4 5 6 7

Число лет с 19X0

Рис. 8.24. Изображение log (у), соответствующих значениям х

Анализ данных как составная часть принятия решений

3. Предполагаемая модель:

у = аЬ^х. Пролагорифмируем обе части:

log (у) = log (ab^x) - log (а) + log (Ь^х). Отсюда:

log (у) = log (a) + xlog (b). Пусть А = log (а) и В = log (b). Тогда ожидаемая линейная модель:

Y = log (у) = А + Вх. Для оценки А и В используем технику простой линейной регрессии:

Таблица 8.13. Расчеты для модели регрессии

Год	Log (годовая продукция) Y = log (у)	Число лет с 19X0	X2	xlog (у)
19X0	2,869
19X1	2,905			2,905
19X2	2,944			5,888
19X3.	2,983			8,949
19X4	3,018			12,072
19X5	3,056			15,280
19X6	3,094			18,564
19X7	3,133			21.931
Всего	24,002			85,589

Для выявления наилучшей модели применяется метод наименьших квадратов в выборочной совокупности:

п X (* log (У)) - £ ^х Z ^1о8 (У)

_в= 8-85,589 -28.24002 _{= 003767} 8140-(28)²

Коэффициент А находится как:

nA = £log(y)-B£x,

т.е. 8А = 24,002 - 0,03767 • 28,

А = 2,8684.

Гл. 8. Линейная регрессия Поэтому линейная модель:

log (у) = 2,8684 + 0,03767х, так как А = log (а), то а = 10^А = 738,6. Так как В = log (Ь), то Ь = 10^в =

Связь между общим объемом годовой продукции и числом лет с 19X0 быть описана:

у = 739-(1,091)".

Интерпретация Ь: если мы перепишем эту модель таким образом: у = 739 (1+9,1 /100)^х, то природа связи станет более очевидна. Годовая про, 739 (тыс. т) в 19X0 году при х=0. Затем мы видим, что продукция растет ь в год. b — отношение объема производства в текущем году к объему произ! в предыдущем году. Прогноз будущего объема продукции:

19X8: х = 8, у = 739 (1,091)⁸ = 1483 тыс. т;

19X9: х = 9, у = 748 (1,091)⁹ = 1618 тыс. т. Нужно быть предельно внимательными, когда мы расширяем рамки м построенной по выборочной совокупности. Предположим, что условия с 15 19X7 годы остаются неизменными. Это предложение может быть оправд для прогноза на 19X8 год, но по мере того как мы будем двигаться далее, п станет все менее надежен.