Рассмотрим функцию: , (4)
где – полиномы, а числа m и n – вещественные любые.
По виду этой функции составим «контрольное число» .
Пусть корни характеристического уравнения будут и .
Определим число k следующим образом:
1) , если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;
2) , если совпадает с одним из корней ;
3) , если .
Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:
(5),
то частное решение следует искать в форме
(6),
где и – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .
Схема нахождения :
1) зная вид , записывают в форме (3), причем полиномы и и записываются с неопределенными коэффициентами;
2) подставляют в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.
3) Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .
Замечания:
1. Если функция имеет вид: или
, то частное решение все равно ищется в виде (6) .
|
|
2. Если , то . В этом случае частное решение ищется в форме: . При этом степень равна степени и .
3. Если , то , а имеет вид .
Пример.
Здесь:
Характеристическое уравнение . Следовательно, .
Поэтому следует искать в виде:
Отсюда Подставляя в уравнение и , находим:
Отсюда или
.
Следовательно, .