Основные теоретические сведения
1. Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу называется предел
(1)
(приращение получает только один аргумент ).
Обозначение:
, .
Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента : .
Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу называется предел
(2)
(приращение получает только один аргумент ).
Обозначение:
, .
Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента : .
2. Производная в данном направлении. Градиент функции.
Если направление l в плоскости характеризуется направляющими косинусами и функция дифференцируема, то производная по направлению l вычисляется по формуле
. (3)
Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , имеющий своими координатами частные производные функции :
или
. (4)
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное
|
|
. (5)
3. Экстремум функции двух переменных:
Пусть функция определена в некоторой области , точка .
Точка называется точкой максимума функции , если существует такая δ-окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .
Аналогично определяется точка минимума функции.
Необходимые условия экстремума:
Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , .
Достаточное условие экстремума:
Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.
Вычислим в точке значения
, , .
Обозначим .
Тогда:
1. Если , то функция в точке имеет экстремум: максимум,
если ; минимум, если ;
2. Если , то функция в точке экстремума не имеет.
В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример 1. Вычислить , где область D – круг .
Решение.
Перейдем к полярным координатам:
.
Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис.1)
, .
Рис.1.
Поэтому имеем
.
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой .
Решение:
Найдем ординату точки касания:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке
Подставляя значения , и в уравнения касательной
и нормали
, получаем:
, (касательная);
, (нормаль).
|
|
Пример 3. Найти частные производные и функции
Решение: Считая функцию функцией только одной переменной , а переменную рассматривая как постоянную, находим
.
Аналогично, считая z функцией только , получаем
Пример 4. Дана функция . Найти: 1) градиент функции в точке ; 2) производную функции в точке по направлению вектора , где .
Решение:
1) Найдем частные производные функции:
2) ; и их значения в точке :
, .
Получаем
.
2) Найдем вектор и его направляющие косинусы:
= l = ;
;
.
Получаем
.
Пример 5. Найти экстремум функций: .
Решение:
Находим стационарные точки:
;
.
Используем необходимое условие экстремума:
~ ~ .
Стационарная точка: .
Применим достаточное условие экстремума:
; ; .
– экстремум есть.
Т.к. – это локальный минимум.
– минимум функции.
Ответ:
Пример 6. Найти экстремум функций: .
Решение:
Находим стационарные точки:
; .
~ ~ .
Стационарная точка: .
Применим достаточное условие экстремума:
; ; .
– экстремума нет.
Ответ: экстремума нет.