Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.
Е сли векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами ,
, то скалярное произведение равно:
|
Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе
,
, вычисляется по формуле
Координаты вектора в ортонормированном базисе: Любой вектор Аналогично плоскому случаю, помимо записи Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры: Базисные векторы записываются следующим образом: |
Метод ортогонализации Шмидта
Для справки:
Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).
Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.
Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы - попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).
Ответ:
- евклидово пространство;
a1…an – произвольный базис.
Положим вектор: ,
;
,
;
,
;
![]() |
– ортогональный базис
- ортонормированный базис
;
;
;
Теорема: - евклидово пространство, dim
=n
в
существует ортонормированный базис.
Или так
Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.